Expresse o volume do sólido S limitado inferiormente pelo plano z=12, e superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=1, como uma integral tripla iterada, utilizando:
Coordenadas cilindricas ryz

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o volume de um sólido S que está limitado por baixo pelo plano z = 12 e por cima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1. Vamos usar coordenadas cilíndricas para montar essa integral tripla. Para isso, precisamos saber como converter as equações do plano e da esfera para coordenadas cilíndricas e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que em coordenadas cilíndricas, as coordenadas (x, y, z) são representadas como (r, theta, z), onde:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • z = z
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por dV = r , dz , dr , dtheta.

Passo 3

Vamos converter a equação da esfera para coordenadas cilíndricas:
x^2 + y^2 + z^2 = 1 Rightarrow r^2 + z^2 = 1
Daí, resolvendo para z, temos:
z = raiz1 - r^2

Passo 4

Agora, sabemos que o sólido está limitado inferiormente pelo plano z = 12. Então, o limite inferior para z é 12, e o limite superior é dado pela esfera, que é raiz1 - r^2.

Passo 5

Precisamos determinar os limites para r. Para isso, encontramos onde o plano z = 12 intercepta a esfera:
r^2 + (12)^2 = 1 Rightarrow r^2 = 1 - 14 = 34 Rightarrow r = raiz32
Então, r varia de 0 a raiz32.

Passo 6

O ângulo theta em coordenadas cilíndricas varia de 0 a 2pi para cobrir toda a volta ao redor do eixo z.

Passo 7

Agora, juntando tudo, montamos a integral tripla para o volume:
V = integral0^2pi integral0^raiz32 integral12^raiz1 - r^2 r , dz , dr , dtheta

Resposta

O volume do sólido S pode ser expresso como:
V = integral0^2pi integral0^raiz32 integral12^raiz1 - r^2 r , dz , dr , dtheta

Exercícios relacionados