Expresse o volume do sólido
limitado inferiormente pelo plano
, e superiormente pela esfera
, como uma integral tripla iterada, utilizando:
Coordenadas cilindricas ryz
Coordenadas cilindricas ryz
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o volume de um sólido
que está limitado por baixo pelo plano
e por cima pela esfera
. Vamos usar coordenadas cilíndricas para montar essa integral tripla. Para isso, precisamos saber como converter as equações do plano e da esfera para coordenadas cilíndricas e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que em coordenadas cilíndricas, as coordenadas
são representadas como
, onde:
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por
.
Passo 3
Vamos converter a equação da esfera para coordenadas cilíndricas:
Daí, resolvendo para
, temos:
Passo 4
Agora, sabemos que o sólido está limitado inferiormente pelo plano
. Então, o limite inferior para
é
, e o limite superior é dado pela esfera, que é
.
Passo 5
Precisamos determinar os limites para
. Para isso, encontramos onde o plano
intercepta a esfera:
Então,
varia de
a
.
Passo 6
O ângulo
em coordenadas cilíndricas varia de
a
para cobrir toda a volta ao redor do eixo
.
Passo 7
Agora, juntando tudo, montamos a integral tripla para o volume:
Resposta
O volume do sólido
pode ser expresso como: