Nos exercícios 25 a 30, calcule a integral definida dada.
integral0^4 x-22 x^2+7 x+3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^4 x-22x^2+7x+3,dx
O conteúdo envolve decomposição em frações parciais de função racional e integração de termos do tipo 1/(ax+b).

Passo 2

Vamos fatorar o denominador para preparar a decomposição em frações parciais:
2x^2+7x+3 = (2x+1)(x+3)

Passo 3

Escrevemos a fração inteira como soma de frações simples:
x-22x^2+7x+3 = A2x+1 + Bx+3
Multiplicando ambos os lados por (2x+1)(x+3) e igualando coeficientes, obtemos
A+2B = 1, 3A+B = -2
Resolvendo, temos A = -1 e B = 1.

Passo 4

Substituindo em cada termo e integrando:
integral x-22x^2+7x+3,dx = integral l(-12x+1+1x+3r),dx
= -12ln|2x+1| + ln|x+3| + C

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 4:
F(x)=ln(x+3)-tfrac12ln(2x+1)
F(4)-F(0)=l[ln7-tfrac12ln9r]-l[ln3-tfrac12ln1r] =ln7-tfrac12ln9-ln3 =ln7-ln9=lnl(tfrac79r)

Resposta

lnl(tfrac79r)

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