Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fazer divisão de polinômios e depois integrar os termos resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a divisão do polinômio
pelo polinômio
. Isso vai simplificar a fração e facilitar a integração.
Passo 3
Dividindo
por
:
-
- Multiplicamos
por e subtraímos do dividendo: -
- Multiplicamos
por e subtraímos: -
, mas como o grau do resto é menor que o do divisor, paramos aqui.
Então, a divisão resulta em:
Passo 4
Agora, a integral fica:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 5
Integrando os primeiros termos:
Passo 6
Agora, vamos resolver
. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja
, então
.
Infelizmente, nosso numerador é apenas
, então precisamos ajustar:
Expressamos
em termos de
:
Mas isso complica bastante. Uma melhor abordagem é completar o quadrado no denominador.
Passo 7
Completando o quadrado para
:
Passo 8
Agora, reescrevemos a integral:
Fazemos a substituição
, então
e
.
Passo 9
Substituindo na integral:
Passo 10
Integrando o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Passo 11
Voltando para
:
Passo 12
Juntando tudo, a integral original é:
Resposta
A integral é igual a: