Calcule as integrais:
integral 6 x^4-5 x^3+4 x^22 x^2-x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 6x^4-5x^3+4x^22x^2-x+1 , dx. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fazer divisão de polinômios e depois integrar os termos resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão do polinômio 6x^4-5x^3+4x^2 pelo polinômio 2x^2-x+1. Isso vai simplificar a fração e facilitar a integração.

Passo 3

Dividindo 6x^4-5x^3+4x^2 por 2x^2-x+1:
  1. 6x^4 div 2x^2 = 3x^2
  2. Multiplicamos 3x^2 por 2x^2-x+1 e subtraímos do dividendo: 6x^4 - 5x^3 + 4x^2 - (6x^4 - 3x^3 + 3x^2) = -2x^3 + x^2
  3. -2x^3 div 2x^2 = -x
  4. Multiplicamos -x por 2x^2-x+1 e subtraímos: -2x^3 + x^2 - (-2x^3 + x^2 - x) = x
  5. x div 2x^2 = 12x, mas como o grau do resto é menor que o do divisor, paramos aqui.
Então, a divisão resulta em:
3x^2 - x + x2x^2-x+1

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral (3x^2 - x) , dx + integral x2x^2-x+1 , dx
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 5

Integrando os primeiros termos:
integral 3x^2 , dx = x^3
integral -x , dx = -12x^2

Passo 6

Agora, vamos resolver integral x2x^2-x+1 , dx. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja u = 2x^2 - x + 1, então du = (4x - 1) , dx.
Infelizmente, nosso numerador é apenas x, então precisamos ajustar:
Expressamos x em termos de u:
x = du + 14
Mas isso complica bastante. Uma melhor abordagem é completar o quadrado no denominador.

Passo 7

Completando o quadrado para 2x^2 - x + 1:
2x^2 - x + 1 = 2(x^2 - 12x) + 1 = 2(x^2 - 12x + 116) + 1 - 2 cdot 116 = 2(x - 14)^2 + 78

Passo 8

Agora, reescrevemos a integral:
integral x2(x - 14)^2 + 78 , dx
Fazemos a substituição t = x - 14, então dt = dx e x = t + 14.

Passo 9

Substituindo na integral:
integral t + 142t^2 + 78 , dt = integral t2t^2 + 78 , dt + integral 142t^2 + 78 , dt

Passo 10

Integrando o primeiro termo:
integral t2t^2 + 78 , dt = 14 ln|2t^2 + 78| + C
Para o segundo termo:
integral 142t^2 + 78 , dt = 14 cdot 1raiz14/8 tan^-1(traiz7/16) + C = 1raiz14 tan^-1(4traiz14) + C

Passo 11

Voltando para x:
14 ln|2(x - 14)^2 + 78| + 1raiz14 tan^-1(4(x - 14)raiz14) + C

Passo 12

Juntando tudo, a integral original é:
x^3 - 12x^2 + 14 ln(2x^2 - x + 1) + 1raiz14 tan^-1(4x - 1raiz14) + C

Resposta

A integral é igual a:
x^3 - 12x^2 + 14 ln(2x^2 - x + 1) + 1raiz14 tan^-1(4x - 1raiz14) + C

Exercícios relacionados