Calcule as integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse tipo de integral envolve funções racionais, onde temos um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver, vamos usar técnicas de substituição e decomposição de frações.
Passo 2
Primeiro, analisamos o denominador
e calculamos a sua derivada em relação a
:
Notamos que o numerador
é semelhante a essa derivada, o que sugere que podemos usar uma substituição.
Passo 3
Vamos tentar escrever o numerador
como uma combinação linear da derivada do denominador e de uma constante. Ou seja:
Precisamos encontrar os valores de
e
que satisfazem essa igualdade.
Passo 4
Comparando os coeficientes dos termos de
e os termos constantes:
Para os termos de
:
Para os termos constantes:
Passo 5
Agora, podemos reescrever a integral original usando os valores encontrados para
e
:
Passo 6
A primeira integral à direita é direta pois o numerador é a derivada do denominador:
Passo 7
Para resolver a segunda integral,
, vamos completar o quadrado no denominador:
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Reconhecemos que a integral
é igual a
. Aplicando isso:
Resposta
Portanto, a integral é: