Calcule as integrais:
integral (2 x-1) d x5 x^2-x+2

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 2x - 15x^2 - x + 2 , dx. Esse tipo de integral envolve funções racionais, onde temos um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver, vamos usar técnicas de substituição e decomposição de frações.

Passo 2

Primeiro, analisamos o denominador 5x^2 - x + 2 e calculamos a sua derivada em relação a x:
ddx(5x^2 - x + 2) = 10x - 1
Notamos que o numerador 2x - 1 é semelhante a essa derivada, o que sugere que podemos usar uma substituição.

Passo 3

Vamos tentar escrever o numerador 2x - 1 como uma combinação linear da derivada do denominador e de uma constante. Ou seja:
2x - 1 = A(10x - 1) + B
Precisamos encontrar os valores de A e B que satisfazem essa igualdade.

Passo 4

Comparando os coeficientes dos termos de x e os termos constantes:
Para os termos de x:
2 = 10A Rightarrow A = 210 = 15
Para os termos constantes:
-1 = -A + B Rightarrow B = -1 + A = -1 + 15 = -45

Passo 5

Agora, podemos reescrever a integral original usando os valores encontrados para A e B:
integral 2x - 15x^2 - x + 2 , dx = 15 integral 10x - 15x^2 - x + 2 , dx - 45 integral 15x^2 - x + 2 , dx

Passo 6

A primeira integral à direita é direta pois o numerador é a derivada do denominador:
15 integral 10x - 15x^2 - x + 2 , dx = 15 ln|5x^2 - x + 2| + C1

Passo 7

Para resolver a segunda integral, integral 15x^2 - x + 2 , dx, vamos completar o quadrado no denominador:
5x^2 - x + 2 = 5(x^2 - 15x) + 2 = 5(x - 110)^2 + 3920

Passo 8

Substituindo na integral:
-45 integral 15(x - 110)^2 + 3920 , dx = -45 cdot 15 integral 1(x - 110)^2 + (raiz3910)^2 , dx

Passo 9

Reconhecemos que a integral integral 1(x - a)^2 + b^2 , dx é igual a 1b arctan(x - ab) + C. Aplicando isso:
-425 cdot 10raiz39 arctan(10x - 1raiz39) + C = -4raiz39 arctan(10x - 1raiz39) + C

Resposta

Portanto, a integral é:
15 ln|5x^2 - x + 2| - 4raiz39 arctan(10x - 1raiz39) + C

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