Calcule as integrais:
integral e^5 x cos (pi x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
integral e^5xcos(pi x),dx
O conteúdo principal aqui é usar integração por partes duas vezes, pois temos o produto de uma exponencial e^5x por um cosseno cos(pi x).

Passo 2

Defina
I=integral e^5xcos(pi x),dx
Para aplicar integração por partes, escolha
u=e^5x, dv=cos(pi x),dx
Então
du=5e^5x,dx, v=integralcos(pi x),dx=1pi,sin(pi x)
Logo, pela fórmula
I = u,v - integral v,du = e^5xpisin(pi x) - integral 1pisin(pi x),5e^5x,dx = e^5xpisin(pi x) - 5piintegral e^5xsin(pi x),dx
Defina
J=integral e^5xsin(pi x),dx,
chegando a
I = e^5xpisin(pi x) - 5piJ

Passo 3

Agora calcule J por partes. Escolha
u=e^5x, dv=sin(pi x),dx
de modo que
du=5e^5x,dx, v=integralsin(pi x),dx=-1picos(pi x)
Então
J = u,v - integral v,du = -e^5xpicos(pi x) - integral l(-1picos(pi x)r),5e^5x,dx = -e^5xpicos(pi x) + 5piintegral e^5xcos(pi x),dx
Reconhecendo integral e^5xcos(pi x),dx=I, obtemos
J = -e^5xpicos(pi x) + 5piI

Passo 4

Substitua J na expressão de I:
I = e^5xpisin(pi x) - 5pil(-e^5xpicos(pi x) + 5piIr)
Distribuindo e recolhendo termos em I,
I = e^5xpisin(pi x) + 5e^5xpi^2cos(pi x) - 25pi^2I,
Il(1 + 25pi^2r) = e^5xl(1pisin(pi x)+5pi^2cos(pi x)r)
Como 1+25/pi^2=(pi^2+25)/pi^2, temos
I = e^5xl(1pisin(pi x)+5pi^2cos(pi x)r)pi^2pi^2+25 = e^5xl(pisin(pi x)+5cos(pi x)r)pi^2+25

Resposta

integral e^5xcos(pi x),dx = e^5xl(5cos(pi x)+pisin(pi x)r)25+pi^2+C

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