Determine a solução geral de:
y^prime prime ^prime+2 y^prime prime=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de terceira ordem, linear e homogênea, com coeficientes constantes:
y''' + 2,y'' = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Substituímos y^(k) por r^k na equação para obter a equação característica:
r^3 + 2,r^2 = 0

Passo 3

Fatoramos o polinômio característico:
r^2,(r + 2)=0,
cujo resultado são as raízes
r=0(mu<iplicidade 2) e r=-2(mu<iplicidade 1)

Passo 4

Pela teoria das equações diferenciais lineares, a raiz dupla r=0 gera os termos C1e^0x e C2xe^0x, e a raiz simples r=-2 gera C3e^-2x. Como e^0x=1, a solução geral fica:

Resposta

y(x)=C1+C2x+C3e^-2x,
onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

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