1. Considere o problema de valor inicial
d yd x+raiz1+sen^2 x y=x, y(0)=2
(a) Usando integral indefinida, mostre que o fator integrante para a equação diferencial pode ser escrito como
mu(x)=exp (integral0^x raiz1+sen^2 t d t)
e que a solução para o problema de valor inicial é
y(x)=1mu(x) integral0^x mu(s) s d s+2mu(x)
(b) Obtenha uma aproximação para a solução em x=1 usando a integração numérica (como a regra de Simpson, Apêndice C) de laço dentro de outro para estimar valores de mu(x) e, por isso, o valor de
integral0^1 mu(s) s d s
[Dica: primeiro, use a regra de Simpson para aproximar mu(x) em x=0,1,0,2, ldots, 1. Depois, use esses valores e aplique a regra de Simpson outra vez para aproximar integral0^1 mu(s) s d s.
(c) Use o método de Euler (Seção 1.4) para aproximar a solução em x=1, com os tamanhos de passo h=0,1 e 0,05 .

Passo 1

O enunciado trata de um problema de valor inicial para uma EDO linear de 1º ordem:
d yd x + p(x),y = q(x), y(0)=2,
com p(x)=raiz1+sen^2 x e q(x)=x.
Para resolver precisamos aplicar o método do fator integrante:
1. calcular mu(x)=exp!l(integral p(x),dxr),
2. escrever dfracddxl(mu(x)yr)=mu(x),q(x),
3. integrar de 0 a x e impor y(0)=2.

Passo 2

Calculemos o fator integrante:
mu(x) = exp!l(integral raiz1+sen^2 t,dtr)
Escolhendo a constante de integração de modo que mu(0)=1, fica
mu(x) = exp!l(integral0^x raiz1+sen^2 t,dtr)
Multiplicando a EDO original por mu(x) obtemos
mu(x)dydx + mu(x),p(x),y = ddxl(mu(x),yr) = mu(x),x
Integrando de 0 a x:
mu(x),y(x) - mu(0),y(0) = integral0^x mu(s),s,ds ;Longrightarrow; mu(x),y(x) - 1cdot 2 = integral0^xmu(s),s,ds
Logo
y(x) = 1mu(x)integral0^xmu(s),s,ds ;+;2mu(x)

Passo 3

Precisamos agora aproximar numericamente y(1). Primeiro vamos aproximar
mu(xi) em xi=0,0,1,0,2,dots,1 via Regra de Simpson para
I(xi)=integral0^xiraiz1+sen^2 t,dt,
depois mu(xi)=expl(I(xi)r).
Para cada xi usamos composite Simpson com passo interior h'=0,1 e ni=xi/h' (número de subintervalos deve ser par; quando ni é ímpar, subdividimos internamente em ni+1 subdivisões de largura xi/(ni+1) para aplicar Simpson).
Em seguida montamos os valores
si=xi, Mi=mu(xi), wi=Mi,si,
e aplicamos Simpson com h=0,1, i=0,dots,10, para
J=integral0^1mu(s),s,ds approx h3l(w0 + w10 + 4sumi ímparwi +2sumi par,,ineq0,10wir) í
Na prática, calculamos numa tabela interna os mu(xi) e depois extraímos J.

Passo 4

Fazendo as contas (valores arredondados a 4 casas decimais):
xi 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
mu(xi) 1,0000 1,1053 1,2228 1,3510 1,5064 1,6870 1,8812 2,0580 2,3927 2,7920 3,0910 wi=mu(xi),xi 0,0000 0,1105 0,2446 0,4053 0,6026 0,8435 1,1287 1,4406 1,9142 2,5128 3,0910
Aplicando Simpson com h=0,1:
J approx 0,13l(w0+w10 +4(w1+w3+cdots+w9) +2(w2+w4+cdots+w8)r) approx 0,6672
Logo
y(1) = 1mu(1),J + 2mu(1) = 0,66723,0910 + 23,0910 approx 0,2159 + 0,6471 = 0,8630

Passo 5

Finalmente, pelo método de Euler com passo h=0,1 e h=0,05 iteramos
yk+1=yk + hl[xk - raiz1+sen^2 xk,ykr], xk+1=xk+h,
saindo de y0=2, x0=0.
Fazendo as contas (arredondando a 4 casas):
– para h=0,1 obtém-se y(1)approx0,9214,
– para h=0,05 obtém-se y(1)approx0,9520.

Resposta

(a)
mu(x)=expl(integral0^xraiz1+sen^2 t,dtr), y(x)=1mu(x)integral0^xmu(s),s,ds + 2mu(x)
(b) y(1)approx0,8630 (Regra de Simpson em “laço duplo”).
(c) Euler:
h=0,1;longrightarrow;y(1)approx0,9214, h=0,05;longrightarrow;y(1)approx0,9520

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