- Considere o problema de valor inicial
(a) Usando integral indefinida, mostre que o fator integrante para a equação diferencial pode ser escrito como
e que a solução para o problema de valor inicial é
(b) Obtenha uma aproximação para a solução em
usando a integração numérica (como a regra de Simpson, Apêndice C) de laço dentro de outro para estimar valores de
, por isso, o valor de
[Dica: primeiro, use a regra de Simpson para aproximar
em
. Depois, use esses valores e aplique a regra de Simpson outra vez para aproximar
.
(c) Use o método de Euler (Seção 1.4) para aproximar a solução em
, com os tamanhos de passo
e 0,05 .
(c) Use o método de Euler (Seção 1.4) para aproximar a solução em
Passo 1
O enunciado trata de um problema de valor inicial para uma EDO linear de
º ordem:
com
e
.
Para resolver precisamos aplicar o método do fator integrante:
. calcular
,
. escrever
,
. integrar de
a
e impor
.
Para resolver precisamos aplicar o método do fator integrante:
Passo 2
Calculemos o fator integrante:
Escolhendo a constante de integração de modo que
, fica
Multiplicando a EDO original por
obtemos
Integrando de
a
:
Logo
Passo 3
Precisamos agora aproximar numericamente
. Primeiro vamos aproximar
em
via Regra de Simpson para
depois
.
Para cada usamos composite Simpson com passo interior
e
(número de subintervalos deve ser par; quando
é ímpar, subdividimos internamente em
subdivisões de largura
para aplicar Simpson).
Em seguida montamos os valores
Para cada
Em seguida montamos os valores
e aplicamos Simpson com
,
, para
Na prática, calculamos numa tabela interna os
e depois extraímos
.
Passo 4
Fazendo as contas (valores arredondados a
casas decimais):
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Aplicando Simpson com
:
Logo
Passo 5
Finalmente, pelo método de Euler com passo
e
iteramos
saindo de
,
.
Fazendo as contas (arredondando a casas):
– para obtém-se
,
– para obtém-se
.
Fazendo as contas (arredondando a
– para
– para
Resposta
(a)
(b)
(Regra de Simpson em “laço duplo”).
(c) Euler:
(c) Euler: