Em cada um dos itens abaixo é dada uma equação diferencial linear de segunda ordem e um par de condições iniciais. Primeiro verifique que y1 e y2 são soluções da equação diferencial e depois encontre uma solução particular da forma y(x)=c1 y1+c2 y2 que satisfaça as condições iniciais dadas.
x^2 y^prime prime+x y^prime+y=0 ; y1=cos (ln x), y2=sen(ln x) ; y(1)=2, y^prime(1)=3

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de Cauchy–Euler
x^2 y'' + x y' + y = 0
e as funções
y1(x)=cos(ln x), y2(x)=sin(ln x)
que devem ser verificadas como soluções. Depois, queremos achar a combinação linear
y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)
que satisfaz
y(1)=2, y'(1)=3

Passo 2

Verificação de y1. Calculamos as derivadas:
y1'(x)=-1x,sin(ln x), y1''(x) =ddxl(-tfrac1xsin(ln x)r) =1x^2sin(ln x) -1x^2cos(ln x)
Substituindo em x^2y''+xy'+y:
x^2y1''+x y1'+y1 =l[sin(ln x)-cos(ln x)r] +l[-sin(ln x)r] +cos(ln x) =0
Logo, y1 satisfaz a equação.

Passo 3

Verificação de y2. Calculamos:
y2'(x)=1xcos(ln x), y2''(x) =ddxl(tfrac1xcos(ln x)r) =-1x^2cos(ln x) -1x^2sin(ln x)
Então
x^2y2''+x y2'+y2 =-l[cos(ln x)+sin(ln x)r] +cos(ln x) +sin(ln x) =0,
confirmando que y2 também é solução.

Passo 4

A solução geral é
y(x)=c1cos(ln x)+c2sin(ln x)
Calculamos a derivada:
y'(x) =-c1xsin(ln x) +c2xcos(ln x) =1xl[-c1sin(ln x)+c2cos(ln x)r]
Em x=1 temos ln1=0, cos0=1, sin0=0, então
y(1)=c1=2, y'(1)=l[-c1cdot0+c2cdot1r]=c2=3
Logo c1=2 e c2=3.

Resposta

y(x)=2cos(ln x)+3sin(ln x)

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