Calcule as integrais.
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Passo 1
Então, temos que calcular a integral de $ 8x^{2} \cos(x^{3}) , dx $. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de integrais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integral. Observando $ 8x^{2} \cos(x^{3}) $, percebemos que dentro do cosseno temos $ x^{3} $. Vamos chamar isso de $ u $.
Então, seja:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para encontrar $ du $.
Passo 4
No nosso integral original, temos $ 8x^{2} , dx $. Vamos relacionar isso com $ du $.
Queremos expressar $ 8x^{2} , dx $ em termos de $ du $:
Passo 5
Substituindo $ u $ e $ du $ na integral original:
Passo 6
Agora, a integral está muito mais simples. Sabemos que a integral de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ \sin(u) $. Então:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, voltamos à variável original substituindo $ u = x^{3} $:
Resposta
A integral de $ 8x^{2} \cos(x^{3}) , dx $ é: