Determine a equação da reta tangente nos seguintes casos:
, no ponto
;
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a equação da reta tangente da função $ f(x) = \sin x - 3 \cos x $ no ponto onde $ x = 2 $. Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ f(2) $ para saber qual é o ponto de tangência. Vamos calcular:
Usando uma calculadora, encontramos:
Então, o ponto de tangência é $ (2, 2,1576) $.
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de $ f(x) $, que nos dará a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 2 $. A derivada de $ f(x) $ é:
Passo 4
Vamos calcular $ f’(2) $ para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é aproximadamente $ 2,3118 $.
Passo 5
Com o ponto $ (2, 2,1576) $ e a inclinação $ 2,3118 $, podemos usar a fórmula da equação da reta tangente:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma $ y = mx + b $:
Resposta
A equação da reta tangente é aproximadamente $ y = 2,3118,x - 2,4660 $.