Determine a equação da reta tangente nos seguintes casos:
f(x)=sen x-3 cos x, no ponto x=2;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a equação da reta tangente da função $ f(x) = \sin x - 3 \cos x $ no ponto onde $ x = 2 $. Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ f(2) $ para saber qual é o ponto de tangência. Vamos calcular:
f(2)
Usando uma calculadora, encontramos:
f(2) = sin(2) - 3 cos(2)
Então, o ponto de tangência é $ (2, 2,1576) $.

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de $ f(x) $, que nos dará a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 2 $. A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

Passo 4

Vamos calcular $ f’(2) $ para encontrar a inclinação da reta tangente:
f'(2)
Então, a inclinação da reta tangente é aproximadamente $ 2,3118 $.

Passo 5

Com o ponto $ (2, 2,1576) $ e a inclinação $ 2,3118 $, podemos usar a fórmula da equação da reta tangente:
(2, 2,1576)
Substituindo os valores:
2,3118

Passo 6

Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma $ y = mx + b $:
y = mx + b
y = 2,3118x - 4,6236 + 2,1576

Resposta

A equação da reta tangente é aproximadamente $ y = 2,3118,x - 2,4660 $.

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