determine da função
todos os aspectos importantes da curva, vc deve estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função $ f(x) = x^{3} -6 x^{2}+12 x -8 $ e precisamos analisar os aspectos importantes da sua curva. Isso inclui descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, seus pontos de máximo e mínimo (extremos), onde a curva está côncava para cima ou para baixo, e pontos de inflexão. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, para investigar o comportamento da função.
Passo 2
Vamos começar encontrando a primeira derivada de $ f(x) $, que nos ajudará a determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, assim como os pontos de extremos. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em cada ponto, indicando se a função está subindo ou descendo.
A primeira derivada de $ f(x) $ é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos), igualamos a primeira derivada a zero e resolvemos para $ x $:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver fatorando:
Portanto, a solução é:
Então, temos um ponto crítico em $ x = 2 $.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou nenhum dos dois, vamos analisar o sinal da primeira derivada nas proximidades de $ x = 2 $.
Escolhemos valores à esquerda e à direita de 2, por exemplo, $ x =1 $ e $ x =3 $.
Para $ x =1 $:
Para $ x =3 $:
Como a derivada é positiva tanto à esquerda quanto à direita de $ x =2 $, isso indica que a função está crescendo nesses intervalos e que $ x =2 $ não é um ponto de máximo ou mínimo. Portanto, a função é crescente em todo o domínio.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de $ f(x) $ para analisar a concavidade da curva e identificar possíveis pontos de inflexão.
A segunda derivada de $ f(x) $ é:
Passo 6
Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero e resolvemos para $ x $:
Então, temos um possível ponto de inflexão em $ x =2 $.
Passo 7
Vamos verificar a concavidade da função nos intervalos ao redor de $ x =2 $:
Escolhemos $ x =1 $ e $ x =3 $.
Para $ x =1 $:
Para $ x =3 $:
Isso significa que:
- Para $ x <2 $, $ f’’(x) <0 $, então a curva é côncava para baixo.
- Para $ x >2 $, $ f’’(x) >0 $, então a curva é côncava para cima.
Como a concavidade muda em $ x =2 $, temos um ponto de inflexão nesse ponto.
Resposta
A função $ f(x) = x^{3} -6 x^{2}+12 x -8 $ é crescente para todo o seu domínio. Ela não possui pontos de máximo ou mínimo. A curva é côncava para baixo no intervalo $ x <2 $ e côncava para cima no intervalo $ x >2 $, apresentando um ponto de inflexão em $ x =2 $.