Calcule as integrais.
integral x^3 d x(5 x^4+2)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão que temos é calcular a integral integral x^3 , dx(5 x^4+2)^3. Vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de substituição (também conhecida como u-substituição) para facilitar a resolução. Precisamos identificar uma parte da expressão que, ao ser substituída, simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição adequada. Olhando para a expressão 5x^4 + 2, percebemos que sua derivada em relação a x envolve x^3, que já está presente no numerador. Isso é uma boa pista para a substituição.
Vamos definir:
u = 5x^4 + 2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Derivando ambos os lados:
dudx = 20x^3
Isso significa que:
du = 20x^3 , dx

Passo 4

Queremos expressar x^3 , dx em termos de du. Para isso, rearranjamos a equação:
x^3 , dx = du20

Passo 5

Agora, substituímos u e x^3 , dx na integral original:
integral x^3 , dx(5 x^4+2)^3 = integral du20u^3
Simplificando:
120 integral u^-3 , du

Passo 6

Vamos integrar u^-3 em relação a u. A integral de u^n é u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração. Aplicando isso:
120 cdot u^-2-2 + C = -140 u^-2 + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta para a expressão original em termos de x:
-140 (5x^4 + 2)^-2 + C

Resposta

A integral é igual a -140,(5x^4 + 2)^2 + C.

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