Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência:
Passo 1
O enunciado pede a representação em série de potências de f(x)=1/(1−x³) e o cálculo do raio de convergência. Vamos usar a expansão da série geométrica, que é conteúdo de séries de potências e teste de convergência.
Passo 2
Sabendo que para |t|<1 vale a série geométrica
podemos fazer a troca t=x³. Assim, para |x³|<1 temos
Passo 3
Para determinar o raio de convergência R basta usar a condição |x³|<1, que equivale a |x|<1. Alternativamente, pelo teste da razão, como
a_{n}=x^{3n} então
a_{n}=x^{3n} então
resulta em |x|<1, logo R=1.
Resposta
A série de potências é
e o raio de convergência é R=1.