Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência:
f(x)=11-x^3

Passo 1

O enunciado pede a representação em série de potências de f(x)=1/(1−x³) e o cálculo do raio de convergência. Vamos usar a expansão da série geométrica, que é conteúdo de séries de potências e teste de convergência.

Passo 2

Sabendo que para |t|<1 vale a série geométrica
11-t=sumn=0^inftyt^n
podemos fazer a troca t=x³. Assim, para |x³|<1 temos
f(x)=11-x^3=sumn=0^infty(x^3)^n=sumn=0^inftyx^3n

Passo 3

Para determinar o raio de convergência R basta usar a condição |x³|<1, que equivale a |x|<1. Alternativamente, pelo teste da razão, como
a_{n}=x^{3n} então
limntoinfty|an+1an|=limntoinfty|x^3|=|x|^3<1
resulta em |x|<1, logo R=1.

Resposta

A série de potências é
f(x)=sumn=0^inftyx^3n
e o raio de convergência é R=1.

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