Beleza, vamos resolver essa integral: . Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente da área de integrais definidas. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar $ u = x + 1 $. Isso significa que $ du/dx = 1 $ ou seja, $ dx = du $. Essa substituição simplifica a parte dentro da raiz.
Passo 3
Agora, expressamos $ x $ em termos de $ u $. Sabemos que $ u = x + 1 $, então $ x = u - 1 $. Vamos substituir isso na integral original.
Passo 4
Substituindo $ x $ e $ dx $ na integral, temos:
Note que os limites de integração também mudaram: quando $ x = 0 $, $ u = 0 + 1 = 1 $ e quando $ x = 8 $, $ u = 8 + 1 = 9 $.
Passo 5
Vamos simplificar a integral:
Isso porque distribuímos o sobre a raiz.
Passo 6
Agora, expressamos as raízes em potências para facilitar a integração:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente. A regra de integração para uma potência de $ u $ é:
Aplicando isso aos nossos termos:
Passo 8
Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 a 9.