Calcule as integrais.
integral0^8 x raizx+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^8 x raizx+1 , dx. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente da área de integrais definidas. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar $ u = x + 1 $. Isso significa que $ du/dx = 1 $ ou seja, $ dx = du $. Essa substituição simplifica a parte dentro da raiz.

Passo 3

Agora, expressamos $ x $ em termos de $ u $. Sabemos que $ u = x + 1 $, então $ x = u - 1 $. Vamos substituir isso na integral original.

Passo 4

Substituindo $ x $ e $ dx $ na integral, temos:
x
Note que os limites de integração também mudaram: quando $ x = 0 $, $ u = 0 + 1 = 1 $ e quando $ x = 8 $, $ u = 8 + 1 = 9 $.

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
integral1^9 (u - 1) raizu , du = integral1^9 u raizu , du - integral1^9 raizu , du
Isso porque distribuímos o (u - 1) sobre a raiz.

Passo 6

Agora, expressamos as raízes em potências para facilitar a integração:
integral u cdot u^1/2 , du - integral u^1/2 , du = integral u^3/2 , du - integral u^1/2 , du

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente. A regra de integração para uma potência de $ u $ é:
u
Aplicando isso aos nossos termos:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C

Passo 8

Substituindo de volta na integral, temos:
25 u^5/2 - 23 u^3/2 |1^9
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 a 9.

Passo 9

Primeiro, substituímos $ u = 9 $:
u = 9
Calculando as potências:
25 cdot 9^5/2 - 23 cdot 9^3/2
Então:
9^3/2 = raiz9^3 = raiz729 = 27 e 9^5/2 = 9^2 cdot 9^1/2 = 81 cdot 3 = 243

Passo 10

Agora, substituímos $ u = 1 $:
u = 1

Passo 11

Subtraímos o valor de $ u = 1 $ do valor de $ u = 9 $:
u = 1

Resposta

A integral integral0^8 x raizx+1 , dx é igual a $ \frac{1192}{15} $, ou aproximadamente $ 79.4667 $.

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