Questão 5) ( 1,0 pontos) Mostre, SEM RESOLVER a equação diferencial por qualquer método, que todas as soluções de
, onde
é uma constante, são da forma
, com
constante arbitrária.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar, sem resolver de fato a equação diferencial $ y’ = k y $, que todas as soluções dessa equação são da forma $ y(t) = c e^{k t} $, onde $ c $ é uma constante. A matéria aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e exponenciais. Vamos precisar entender um pouco sobre como as soluções dessas equações se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial. Uma equação diferencial relaciona uma função com suas derivadas. No caso, temos $ y’ = k y $, onde $ y’ $ é a derivada de $ y $ em relação a $ t $, e $ k $ é uma constante.
Passo 3
Para mostrar que todas as soluções são da forma $ y(t) = c e^{k t} $, vamos pensar em funções que, ao derivarmos, nos dão de volta a função original multiplicada por $ k $. A função exponencial $ e^{k t} $ tem essa propriedade incrível: sua derivada é $ k e^{k t} $, que é exatamente $ k $ vezes a função original.
Passo 4
Agora, se a gente considerar uma constante $ c $ multiplicando a função exponencial, ou seja, $ y(t) = c e^{k t} $, a derivada fica $ y’ = c k e^{k t} $. Isso ainda satisfaz a equação $ y’ = k y $, porque $ c k e^{k t} = k (c e^{k t}) $.
Passo 5
Além disso, segundo o teorema da existência e unicidade para equações diferenciais de primeira ordem, sabemos que para cada valor inicial dado, existe uma única solução que passa por esse ponto. Isso garante que todas as soluções possíveis dessa equação têm a forma $ y(t) = c e^{k t} $, variando apenas o valor da constante $ c $.
Resposta
Portanto, todas as soluções da equação diferencial $ y’ = k y $ são da forma $ y(t) = c e^{k t} $, onde $ c $ é uma constante arbitrária.