Calcule as integrais:
integral x d xraizx^2+x+1

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral x,dxraizx^2+x+1
O conteúdo que vamos usar é a técnica de decomposição do numerador e depois a fórmula padrão
integral duraizu^2+a^2 = arsinh!l(uar)+C

Passo 2

Para facilitar, escrevemos
x = 2x+12 - 12
Então a integral fica
integral x,dxraizx^2+x+1 = 12integral 2x+1raizx^2+x+1,dx - 12integral dxraizx^2+x+1

Passo 3

A primeira parte é imediata:
12integral 2x+1raizx^2+x+1,dx = 12cdot 2,raizx^2+x+1 = raizx^2+x+1
Logo
integral x,dxraizx^2+x+1 = raizx^2+x+1 - 12integral dxraizx^2+x+1

Passo 4

Para
integral dxraizx^2+x+1
fazemos o completar o quadrado em x^2+x+1:
x^2+x+1 = l(x+tfrac12r)^2 + tfrac34
Com a substituição
u = x+tfrac12 e a = tfracraiz32,
temos
integral dxraizx^2+x+1 = integral duraizu^2+a^2 = arsinh!l(uar) + C = arsinh!l(2x+1raiz3r)+C

Passo 5

Reunindo tudo, obtemos
integral x,dxraizx^2+x+1 = raizx^2+x+1 - 12,arsinh!l(2x+1raiz3r) + C

Resposta

boxed integral x,dxraizx^2+x+1 = raizx^2+x+1 - 12,arsinh!l(tfrac2x+1raiz3r) + C

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