Determine os seguintes limites.
lim x 2^+ raizx-2x^2-e^x^2-4-3

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto2^+raizx-2x^2-e^,x^2-4-3
Estamos em conteúdo de cálculo de limites envolvendo formas indeterminadas do tipo tfrac00. Vamos usar mudança de variável e séries de Taylor para aproximar numerador e denominador.

Passo 2

Fazemos a troca t = x-2. Quando xto2^+, temos tto0^+. Assim
raizx-2 = raizt,
e
x^2 -3 = (2+t)^2 -3 =4 +4t +t^2 -3 =1 +4t +t^2
Além disso,
x^2 -4 = (2+t)^2 -4 =4t +t^2,
logo o denominador fica
x^2-e^,x^2-4-3 = l(1 +4t +t^2r) - e^,4t +t^2

Passo 3

Usamos a expansão de Taylor de e^u em u=0:
e^u = 1 + u + tfracu^22 + o(u^2)
Aqui u =4t +t^2. Então
e^4t +t^2 =1 + (4t +t^2) + tfrac(4t +t^2)^22 + o(t^2) =1 +4t +t^2 + tfrac16t^2 +2cdot4tcdot t^2 + t^42 + o(t^2)
Mantendo termos até ordem t^2, obtemos
e^4t +t^2 =1 +4t +t^2 +8t^2 + o(t^2) =1 +4t +9t^2 + o(t^2)

Passo 4

Substituindo no denominador:
x^2-e^,x^2-4-3 = l(1 +4t +t^2r) - l(1 +4t +9t^2 + o(t^2)r) =-8t^2 + o(t^2)
Logo, para tto0^+, o denominador se comporta como -8t^2.

Passo 5

Voltando ao limite original, temos
raizx-2x^2-e^,x^2-4-3 =raizt-8t^2 + o(t^2) sim t^1/2-8t^2 =-18,t^-3/2
Como t^-3/2to+infty para tto0^+, a fração tende a -infty.

Resposta

limxto2^+raizx-2x^2-e^,x^2-4-3 = -infty

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