Encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiōes do plano- x y determinadas pelos gráficos das soluções de equilibrio.
d yd x=10+3 y-y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma de primeira ordem
dydx = 10 + 3y - y^2
e pede (i) os pontos críticos (soluções de equilíbrio) em que dydx=0, (ii) a classificação de cada ponto como assintoticamente estável, instável ou semiestável, e (iii) o retrato de fase na reta das y e esboço de curvas integrais típicas no plano xy. Para resolver, vamos (1) achar os equilíbrios resolvendo 10+3y -y^2=0, (2) usar linearização f'(y) para classificar, (3) analisar o sinal de f(y)=10+3y-y^2 nos intervalos, (4) desenhar a linha de fase e (5) esboçar curvas integrais.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
10 + 3y - y^2 = 0
que reescreve como
y^2 - 3y - 10 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara, temos
y = 3 pm raiz(-3)^2 - 4cdot1cdot(-10)2 = 3 pm raiz9+402 = 3 pm 72,
portanto os equilíbrios são
y1 = -2, y2 = 5

Passo 3

Para classificar a estabilidade, calculamos a derivada de
f(y) = 10 + 3y - y^2,
ou seja
f'(y) = 3 - 2y
Em y1 = -2 temos
f'(-2) = 3 - 2(-2) = 7 > 0,
logo y=-2 é ponto de equilíbrio instável. Em y2 = 5 temos
f'(5) = 3 - 2cdot5 = -7 < 0,
logo y=5 é assintoticamente estável.

Passo 4

Analisando o sinal de f(y) nos intervalos determinados por -infty < y < -2, -2 < y < 5 e y > 5:
  1. Para y < -2, o termo -y^2 domina e f(y)<0.
  2. Para -2<y<5, tome y=0, então f(0)=10>0.
  3. Para y>5, tome y=6, então f(6)=10+18-36=-8<0.
    Assim o fluxo de y ao longo de x é:
y',<0 &se y<-2, y',>0 &se -2<y<5, y',<0 &se y>5

Passo 5

No retrato de fase (linha sobre o eixo y) colocamos pontos em y=-2 e y=5, marcados como equilíbrio instável e estável, respectivamente, e desenhamos setas apontando para longe de -2 e para 5:
underbracelong<=ftarrowy<-2;; circ-2;;underbracelongrightarrow-2<y<5;;bul<=t5;;underbracelong<=ftarrowy>5
Em seguida, no plano xy, cada curva integral y(x) é monótona em cada região:
  • Se a condição inicial y(x0)<-2, a curva decresce e tende a -infty conforme xto+infty, aproximando-se de -2 conforme xto-infty.
  • Se -2<y(x0)<5, a curva cresce e tende a 5 conforme xto+infty, aproximando-se de -2 conforme xto-infty.
  • Se y(x0)>5, a curva decresce e tende a 5 conforme xto+infty, partindo de +infty conforme xto-infty.
    Esse esboço exibe horizontais y=-2 e y=5 como assíntotas para as trajetórias.

Resposta

Os pontos críticos são ,y=-2 (instável) e ,y=5 (assintoticamente estável). O retrato de fase é a linha de fases com setas conforme descrito, e as curvas integrais no plano xy são monótonas em cada região, aproximando-se das retas horizontais de equilíbrio.

Exercícios relacionados