Encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiōes do plano- determinadas pelos gráficos das soluções de equilibrio.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma de primeira ordem
e pede (i) os pontos críticos (soluções de equilíbrio) em que , (ii) a classificação de cada ponto como assintoticamente estável, instável ou semiestável, e (iii) o retrato de fase na reta das e esboço de curvas integrais típicas no plano . Para resolver, vamos (1) achar os equilíbrios resolvendo , (2) usar linearização para classificar, (3) analisar o sinal de nos intervalos, (4) desenhar a linha de fase e (5) esboçar curvas integrais.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
que reescreve como
Usando a fórmula de Bhaskara, temos
portanto os equilíbrios são
Passo 3
Para classificar a estabilidade, calculamos a derivada de
ou seja
Em temos
logo é ponto de equilíbrio instável. Em temos
logo é assintoticamente estável.
Passo 4
Analisando o sinal de nos intervalos determinados por , e :
Para , o termo domina e .
Para , tome , então .
Para , tome , então .
Assim o fluxo de ao longo de é:
Passo 5
No retrato de fase (linha sobre o eixo y) colocamos pontos em y=-2 e y=5, marcados como equilíbrio instável e estável, respectivamente, e desenhamos setas apontando para longe de -2 e para 5:
Em seguida, no plano xy, cada curva integral y(x) é monótona em cada região:
Se a condição inicial y(x0)<-2, a curva decresce e tende a -infty conforme xto+infty, aproximando-se de -2 conforme xto-infty.
Se -2<y(x0)<5, a curva cresce e tende a 5 conforme xto+infty, aproximando-se de -2 conforme xto-infty.
Se y(x0)>5, a curva decresce e tende a 5 conforme xto+infty, partindo de +infty conforme xto-infty.
Esse esboço exibe horizontais y=-2 e y=5 como assíntotas para as trajetórias.
Resposta
Os pontos críticos são ,y=-2 (instável) e ,y=5 (assintoticamente estável). O retrato de fase é a linha de fases com setas conforme descrito, e as curvas integrais no plano xy são monótonas em cada região, aproximando-se das retas horizontais de equilíbrio.