Calcule as integrais:
integral d x[(a x)^2-b^2]^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
integral dxl((a x)^2 - b^2r)^3/2
O conteúdo é técnica de substituição para reduzir ao tipo integral (z^2 - b^2)^-3/2dz, cuja antiderivada conhecemos.

Passo 2

Façamos a primeira mudança de variável
z = a x, dz = a,dx ;Longrightarrow; dx = dza
A integral fica
integral dxl((a x)^2 - b^2r)^3/2 = integral dz/a(z^2 - b^2)^3/2 = 1a,integral dz(z^2 - b^2)^3/2

Passo 3

Para calcular
integral (z^2 - b^2)^-3/2dz,
lembramos que
ddz!l(zraizz^2 - b^2r) = (z^2 - b^2) - z^2(z^2 - b^2)^3/2 = -b^2(z^2 - b^2)^3/2
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integral dz(z^2 - b^2)^3/2 = -1b^2,zraizz^2 - b^2 + C

Passo 4

Voltando à variável x com z = a x, temos
1a,l(-1b^2,zraizz^2 - b^2r) = -1a,b^2,a xraiza^2x^2 - b^2 = -xb^2raiza^2x^2 - b^2 + C

Resposta

boxed integral dxl((a x)^2 - b^2r)^3/2 = -xb^2raiza^2x^2 - b^2 + C

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