Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral
. Esse tipo de integral envolve funções polinomiais e radicais, então vamos usar técnicas de integração como completar o quadrado e substituição para resolver. Vamos precisar reorganizar a expressão dentro da raiz e fazer uma mudança de variável para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Para facilitar, podemos rearranjar os termos:
Agora, vamos completar o quadrado para a parte
. Para completar o quadrado, fatoramos o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Então, a expressão completa fica:
Passo 3
Agora, nossa integral fica:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Também, como
, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 5
Primeira Integral:
Aqui, vamos usar a substituição. Definimos:
Substituindo:
Voltando a
:
Segunda Integral:
Essa é uma integral padrão que resulta em uma função arco seno. A integral de
é:
Para
:
Passo 6
Agora, juntando as duas integrais:
Substituindo de volta
:
Resposta
Portanto, a integral de
é: