Calcule as integrais:
integral x raiz3+2 x-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral integral x raiz3 + 2x - x^2 , dx. Esse tipo de integral envolve funções polinomiais e radicais, então vamos usar técnicas de integração como completar o quadrado e substituição para resolver. Vamos precisar reorganizar a expressão dentro da raiz e fazer uma mudança de variável para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: 3 + 2x - x^2. Para facilitar, podemos rearranjar os termos:
3 + 2x - x^2 = -x^2 + 2x + 3
Agora, vamos completar o quadrado para a parte -x^2 + 2x. Para completar o quadrado, fatoramos o coeficiente de x^2:
-x^2 + 2x = -(x^2 - 2x)
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Substituindo de volta:
- (x^2 - 2x) = -[(x - 1)^2 - 1] = - (x - 1)^2 + 1
Então, a expressão completa fica:
3 + 2x - x^2 = - (x - 1)^2 + 4 = 4 - (x - 1)^2

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral x raiz4 - (x - 1)^2 , dx
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
u = x - 1 Rightarrow du = dx
Também, como u = x - 1, podemos expressar x em termos de u:
x = u + 1
Substituindo na integral:
integral (u + 1) raiz4 - u^2 , du

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral (u + 1) raiz4 - u^2 , du = integral u raiz4 - u^2 , du + integral raiz4 - u^2 , du
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeira Integral:
integral u raiz4 - u^2 , du
Aqui, vamos usar a substituição. Definimos:
v = 4 - u^2 Rightarrow dv = -2u , du Rightarrow -12 dv = u , du
Substituindo:
- 12 integral raizv , dv = - 12 cdot 23 v^3/2 + C = - 13 v^3/2 + C
Voltando a u:
- 13 (4 - u^2)^3/2 + C
Segunda Integral:
integral raiz4 - u^2 , du
Essa é uma integral padrão que resulta em uma função arco seno. A integral de raiza^2 - u^2 é:
u2 raiza^2 - u^2 + a^22 arcsin(ua) + C
Para a = 2:
u2 raiz4 - u^2 + 2 arcsin(u2) + C

Passo 6

Agora, juntando as duas integrais:
- 13 (4 - u^2)^3/2 + u2 raiz4 - u^2 + 2 arcsin(u2) + C
Substituindo de volta u = x - 1:
- 13 (4 - (x - 1)^2)^3/2 + (x - 1)2 raiz4 - (x - 1)^2 + 2 arcsin(x - 12) + C

Resposta

Portanto, a integral de x raiz3 + 2x - x^2 , dx é:
- 13 (4 - (x - 1)^2)^3/2 + (x - 1)2 raiz4 - (x - 1)^2 + 2 arcsin(x - 12) + C

Exercícios relacionados