Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções a seguir definidas por
& f: A subset R B subset R & x mapsto f(x)=y
f(x)=-4 x^2-20 x-25

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função quadrática f(x)=–4x²–20x–25 e queremos determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico. O conteúdo é de funções polinomiais do 2º grau; para resolver vamos usar que polinômios têm domínio em ℝ e que a imagem de uma parábola é dada por seu vértice quando o coeficiente de x² é negativo ou positivo.

Passo 2

Determinação do domínio: como f(x) é um polinômio, ela está definida para todo número real. Logo, o domínio é ℝ.

Passo 3

Análise da concavidade e busca do vértice: o coeficiente de x² é a=–4<0, então a parábola é voltada para baixo e tem um valor máximo no vértice. As coordenadas do vértice são dadas por x_v=–b/(2a).

Passo 4

Cálculo do vértice: aqui b=–20, a=–4, então
xv=--202cdot(-4)=20-8=-2.5
Agora y_v=f(-2.5)=–4(6.25)–20(–2.5)–25=–25+50–25=0. Assim, o vértice é (-2.5,0).

Passo 5

Determinação da imagem: como a parábola abre para baixo, ela atinge um valor máximo em y_v=0 e decresce para –∞ quando x→±∞. Logo, a imagem (contradomínio efetivo) é (-∞,0].

Passo 6

Esboço do gráfico: marque o vértice em (-2.5,0), o intercepto em y em (0,–25), observe que não há dois zeros distintos (Δ=0), e desenhe a parábola com concavidade voltada para baixo. A curva tende a –∞ nos dois extremos de x.

Resposta

Domínio: R; Imagem: (-2.5,0). Esboço: parábola voltada para baixo com vértice em y, intercepto em (0,-25) em x=-2.5 e única raiz dupla em .

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