Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções a seguir definidas por
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função quadrática f(x)=–4x²–20x–25 e queremos determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico. O conteúdo é de funções polinomiais do 2º grau; para resolver vamos usar que polinômios têm domínio em ℝ e que a imagem de uma parábola é dada por seu vértice quando o coeficiente de x² é negativo ou positivo.
Passo 2
Determinação do domínio: como f(x) é um polinômio, ela está definida para todo número real. Logo, o domínio é ℝ.
Passo 3
Análise da concavidade e busca do vértice: o coeficiente de x² é a=–4<0, então a parábola é voltada para baixo e tem um valor máximo no vértice. As coordenadas do vértice são dadas por x_v=–b/(2a).
Passo 4
Cálculo do vértice: aqui b=–20, a=–4, então
Agora y_v=f(-2.5)=–4(6.25)–20(–2.5)–25=–25+50–25=0. Assim, o vértice é (-2.5,0).
Passo 5
Determinação da imagem: como a parábola abre para baixo, ela atinge um valor máximo em y_v=0 e decresce para –∞ quando x→±∞. Logo, a imagem (contradomínio efetivo) é (-∞,0].
Passo 6
Esboço do gráfico: marque o vértice em (-2.5,0), o intercepto em y em (0,–25), observe que não há dois zeros distintos (Δ=0), e desenhe a parábola com concavidade voltada para baixo. A curva tende a –∞ nos dois extremos de x.
Resposta
Domínio:
; Imagem:
. Esboço: parábola voltada para baixo com vértice em
, intercepto em
em
e única raiz dupla em
.