Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função $ y = 2x^{2} - x^{3} $, classificá-los como máximo ou mínimo, e também determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, além de identificar possíveis pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas: a primeira derivada nos ajuda a encontrar os pontos críticos, e a segunda derivada nos auxilia a entender a concavidade do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função $ y = 2x^{2} - x^{3} $. A derivada de $ x^{n} $ é $ n x^{n-1} $, então aplicando isso:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de $ x $ onde a primeira derivada é zero ou não existe. Nossa derivada $ y’ = 4x - 3x^{2} $ existe para todo $ x $, então vamos igualar a zero:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos críticos são $ x = 0 $ e $ x = \frac{4}{3} $.
Passo 4
Para classificar esses pontos como máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada. Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada da função:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
- Para $ x = 0 $:
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que o ponto $ x = 0 $ é um mínimo.
- Para $ x = \frac{4}{3} $:
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que o ponto $ x = \frac{4}{3} $ é um máximo.
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade do gráfico usando a segunda derivada $ y’’ = 4 - 6x $.
- Para saber onde a função é côncava para cima, procuramos onde $ y’’ > 0 $:
Então, a função é côncava para cima no intervalo $ x < \frac{2}{3} $.
- Para saber onde a função é côncava para baixo, procuramos onde $ y’’ < 0 $:
Então, a função é côncava para baixo no intervalo $ x > \frac{2}{3} $.
- O ponto onde a concavidade muda é onde $ y’’ = 0 $:
Esse é um ponto de inflexão.
Resposta
Os pontos críticos da função $ y = 2x^{2} - x^{3} $ são:
- $ x = 0 $: Mínimo
- $ x = \frac{4}{3} $: Máximo
A concavidade do gráfico é:
- Côncava para cima no intervalo $ x < \frac{2}{3} $
- Côncava para baixo no intervalo $ x > \frac{2}{3} $
Há um ponto de inflexão em $ x = \frac{2}{3} $.