Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
y=2 x^2-x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função $ y = 2x^{2} - x^{3} $, classificá-los como máximo ou mínimo, e também determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, além de identificar possíveis pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas: a primeira derivada nos ajuda a encontrar os pontos críticos, e a segunda derivada nos auxilia a entender a concavidade do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função $ y = 2x^{2} - x^{3} $. A derivada de $ x^{n} $ é $ n x^{n-1} $, então aplicando isso:
y = 2x^2 - x^3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de $ x $ onde a primeira derivada é zero ou não existe. Nossa derivada $ y’ = 4x - 3x^{2} $ existe para todo $ x $, então vamos igualar a zero:
x
Isso nos dá duas soluções:
y' = 4x - 3x^2
Então, os pontos críticos são $ x = 0 $ e $ x = \frac{4}{3} $.

Passo 4

Para classificar esses pontos como máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada. Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada da função:
y'' = ddx(4x - 3x^2) = 4 - 6x
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
  • Para $ x = 0 $:
x = 0
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que o ponto $ x = 0 $ é um mínimo.
  • Para $ x = \frac{4}{3} $:
y'' = 4 - 6(0) = 4 > 0
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que o ponto $ x = \frac{4}{3} $ é um máximo.

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade do gráfico usando a segunda derivada $ y’’ = 4 - 6x $.
  • Para saber onde a função é côncava para cima, procuramos onde $ y’’ > 0 $:
y'' = 4 - 6x
Então, a função é côncava para cima no intervalo $ x < \frac{2}{3} $.
  • Para saber onde a função é côncava para baixo, procuramos onde $ y’’ < 0 $:
y'' > 0
Então, a função é côncava para baixo no intervalo $ x > \frac{2}{3} $.
  • O ponto onde a concavidade muda é onde $ y’’ = 0 $:
4 - 6x > 0 Rightarrow 6x < 4 Rightarrow x < 23
Esse é um ponto de inflexão.

Resposta

Os pontos críticos da função $ y = 2x^{2} - x^{3} $ são:
  • $ x = 0 $: Mínimo
  • $ x = \frac{4}{3} $: Máximo
A concavidade do gráfico é:
  • Côncava para cima no intervalo $ x < \frac{2}{3} $
  • Côncava para baixo no intervalo $ x > \frac{2}{3} $
Há um ponto de inflexão em $ x = \frac{2}{3} $.

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