Verifique a convergência das integrais:
integral0^1 x^2 ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a integral integral0^1 x^2 ln (x) , dx converge. Isso está dentro do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e convergência. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração e análise de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da função x^2 ln(x) no intervalo de integração de 0 a 1. Sabemos que ln(x) tende a -infty quando x se aproxima de 0, mas x^2 tende a 0. Precisamos ver qual dessas tendências “ganha” para determinar se a integral converge.

Passo 3

Como a integral tem um comportamento impróprio em x = 0, vamos reescrevê-la como um limite:
integral0^1 x^2 ln(x) , dx = lima to 0^+ integrala^1 x^2 ln(x) , dx
Isso nos ajuda a lidar com a descontinuidade na integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integral x^2 ln(x) , dx. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
u = ln(x) Rightarrow du = 1x , dx
dv = x^2 , dx Rightarrow v = x^33
A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 5

Aplicando a integração por partes:
integral x^2 ln(x) , dx = ln(x) cdot x^33 - integral x^33 cdot 1x , dx
Simplificando a segunda integral:
= x^3 ln(x)3 - 13 integral x^2 , dx

Passo 6

Calculando a integral restante:
integral x^2 , dx = x^33 + C
Portanto:
integral x^2 ln(x) , dx = x^3 ln(x)3 - 13 cdot x^33 + C = x^3 ln(x)3 - x^39 + C

Passo 7

Agora, voltamos ao limite inicial:
lima to 0^+ [ ( x^3 ln(x)3 - x^39 ) g|a^1 ]
Vamos avaliar em x = 1:
1^3 ln(1)3 - 1^39 = 0 - 19 = -19
E em x = a:
a^3 ln(a)3 - a^39
À medida que a se aproxima de 0, a^3 ln(a) tende a 0, porque a^3 vai para 0 mais rápido que ln(a) vai para -infty. Também, a^39 tende a 0.

Passo 8

Assim, o limite fica:
-19 - 0 = -19
Isso significa que a integral converge e seu valor é -19.

Resposta

A integral integral0^1 x^2 ln(x) , dx converge e seu valor é -19.

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