Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a integral converge. Isso está dentro do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e convergência. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração e análise de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento da função no intervalo de integração de 0 a 1. Sabemos que tende a quando se aproxima de 0, mas tende a 0. Precisamos ver qual dessas tendências “ganha” para determinar se a integral converge.
Passo 3
Como a integral tem um comportamento impróprio em , vamos reescrevê-la como um limite:
Isso nos ajuda a lidar com a descontinuidade na integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
A fórmula de integração por partes é:
Passo 5
Aplicando a integração por partes:
Simplificando a segunda integral:
Passo 6
Calculando a integral restante:
Portanto:
Passo 7
Agora, voltamos ao limite inicial:
Vamos avaliar em x = 1:
1^3 ln(1)3 - 1^39 = 0 - 19 = -19
E em x = a:
a^3 ln(a)3 - a^39
À medida que a se aproxima de 0, a^3 ln(a) tende a 0, porque a^3 vai para 0 mais rápido que ln(a) vai para -infty. Também, a^39 tende a 0.
Passo 8
Assim, o limite fica:
-19 - 0 = -19
Isso significa que a integral converge e seu valor é -19.
Resposta
A integral integral0^1 x^2 ln(x) , dx converge e seu valor é -19.