Calcule as integrais:
integral x^2 sec ^2(x^3+1) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2,sec^2l(x^3+1r),dx
O conteúdo aqui é a técnica de substituição, aproveitando que a derivada de x^3+1 é proporcional a x^2.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^3 + 1
Diferenciando ambos os lados, temos
du = 3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = du3

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u, fica
integral x^2,sec^2l(x^3+1r),dx = integral sec^2(u),du3 = 13integral sec^2(u),du

Passo 4

Sabemos que
integral sec^2(u),du = tan(u) + C
Logo,
13integral sec^2(u),du = 13,tan(u) + C

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u = x^3+1:
integral x^2,sec^2l(x^3+1r),dx = 13,tanl(x^3+1r) + C

Resposta

boxed13,tanl(x^3+1r) + C

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