Encontre os valores de x que satisfazem a desigualdade dada
|arctan (x)-pi8|<pi8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|arctan(x)-pi8|<pi8
Isso envolve a função arctan, que é estritamente crescente em R. Vamos usar propriedades de desigualdades e a monotonicidade de arctan para encontrar o conjunto de x.

Passo 2

Começamos reescrevendo a desigualdade absoluta em duas desigualdades lineares:
-pi8 < arctan(x) - pi8 < pi8

Passo 3

Agora somamos pi8 a todos os termos da cadeia para isolar arctan(x):
-pi8 + pi8 < arctan(x) < pi8 + pi8,
ou seja,
0 < arctan(x) < pi4

Passo 4

Como arctan é crescente, podemos aplicar a função tangente (inversa de arctan) em toda a desigualdade sem inverter os sinais:
tan(0) < x < tan!l(pi4r)
E sabemos que tan(0)=0 e tan(pi/4)=1.

Passo 5

Portanto o intervalo de soluções é
0 < x < 1

Resposta

0<x<1

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