Calcule as integrais:
integral(x^4-2 x+sen x+4 cos x+6) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (ou antiderivada) da função
f(x)=x^4-2x+sin x+4cos x+6
Para resolver, vamos usar:
  1. A linearidade da integral, que permite separar soma e constantes.
  2. A regra da potência, integral x^n,dx = x^n+1n+1 para nneq -1.
  3. As integrais básicas
    integral sin x,dx = -cos x e integral cos x,dx = sin x.
  4. integral a,dx = a,x quando a é constante.

Passo 2

Aplicando a linearidade, escrevemos
integrall(x^4-2x+sin x+4cos x+6r),dx =integral x^4,dx -2integral x,dx +integral sin x,dx +4integral cos x,dx +integral 6,dx

Passo 3

Para as partes polinomiais usamos a regra da potência:
integral x^4,dx = x^55, integral x,dx = x^22 Longrightarrow -2integral x,dx = -2cdotx^22 = -x^2

Passo 4

Para as partes trigonométricas usamos as integrais básicas:
integral sin x,dx = -cos x, integral cos x,dx = sin x Longrightarrow 4integral cos x,dx = 4,sin x

Passo 5

Finalmente, a constante 6:
integral 6,dx = 6x
Somando tudo e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva completa.

Resposta

boxed,x^55 - x^2 - cos x + 4sin x + 6x + C,

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