Encontre as Raízes ou zero das funções polinomiais e escreva de forma fatorada.
p(x)=x^4-x^3-3 x^2+5 x-2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os zeros da função polinomial
p(x)=x^4-x^3-3x^2+5x-2
e escrevê-la na forma fatorada. Vamos usar o Teorema das Raízes Racionais para achar possíveis raízes e em seguida aplicar divisão sintética para reduzir o grau.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, os candidatos à raiz são os divisores de -2 (coeficiente independente) divididos pelos divisores de 1 (coeficiente líder), ou seja
pm1,pm2. Testamos no polinômio:
p(1)=1-1-3+5-2=0, p(-2)=16+8-12-10-2=0
Logo, x=1 e x=-2 são raízes de p(x).

Passo 3

Dividimos p(x) por (x-1) usando divisão sintética para obter um polinômio de grau 3. O resultado é
x^4-x^3-3x^2+5x-2=(x-1)l(x^3-3x+2r)

Passo 4

Agora fatoramos o cúbico x^3-3x+2. Aplicando novamente o teste racional vemos que x=1 é raiz, e dividindo por (x-1) temos
x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)

Passo 5

O trinômio quadrático restante é
x^2+x-2,
que fatoramos procurando dois números cuja soma seja 1 e produto seja -2. Esses números são 2 e -1, logo
x^2+x-2=(x+2)(x-1)

Passo 6

Reunindo todos os fatores, obtemos a fatoração completa de p(x):
p(x)=(x-1),(x-1),(x-1),(x+2)=(x-1)^3(x+2)
Dessa forma as raízes são x=1 com multiplicidade 3 e x=-2 com multiplicidade 1.

Resposta

p(x)=(x-1)^3(x+2),
raízes: x=1 (multiplicidade 3) e x=-2.

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