Derive as funções abaixo:
(f) f(x)=x^x cos x

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=x^xcos x
Aqui vamos usar duas ferramentas principais de derivação: a regra do produto (para multiplicar x^x por cos x) e a derivada de x^x, que envolve logaritmo.

Passo 2

Primeiro, achamos a derivada de g(x)=x^x. Para isso escrevemos
x^x = e^xln x
e derivamos usando a cadeia:
ddxl(x^xr) =ddxl(e^xln xr) =e^xln x,ddxl(xln xr)
Como
ddx(xln x) =1cdotln x + xcdot1x =ln x + 1,
ficamos com
ddxl(x^xr) =x^xl(ln x + 1r)

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto em
f(x)=x^xcos x
Seja u(x)=x^x e v(x)=cos x. Então
f'(x)=u'(x),v(x) + u(x),v'(x)

Passo 4

Substituindo u'(x)=x^x(ln x+1) e v'(x)=-sin x, obtemos
f'(x) =x^x(ln x+1)cos x +x^xl(-sin xr) =x^xl((ln x+1)cos x - sin xr)

Resposta

f'(x) =x^xl((ln x+1)cos x - sin xr)

Exercícios relacionados