Faça um esboço do gráfico e indique se o limite existe (justifique sua resposta): lim x -4 F(x) ; lim x -2 F(x) ; lim x 0 F(x) ; lim x 2 F(x) ; lim x 4 F(x)
Passo 1
O enunciado define a função por partes com três “V” de valor absoluto:
– Para -6 <= x <= -2,
F(x)=4 - lvert x+4rvert,
– Para -2 < x < 2,
F(x)=1 + lvert xrvert,
– Para 2 <= x <= 6,
F(x)=4 - lvert x-4rvert
O objetivo é esboçar esse gráfico e calcular os limites laterais em x=-4,-2,0,2,4, verificando se há descontinuidade (salto) ou continuidade (limite existe e vale o valor da função).
Passo 2
Esboço do gráfico (três “V” deslocados):
– No intervalo [-6,-2] temos um vértice em (-4,4) e as pontas em (-6,2) e (-2,2), ambas com ponto cheio.
– No intervalo (-2,2) temos um vértice em (0,1) e as pontas em (-2,3) e (2,3), ambas com ponto aberto (pois -2 e 2 não pertencem a esse ramo).
– No intervalo [2,6] temos um vértice em (4,4) e as pontas em (2,2) e (6,2), ambas com ponto cheio.
Passo 3
Limite em xto -4: -4 está no interior do ramo [-6,-2], onde a função é contínua (valor absoluto é contínuo). Logo
limxto -4F(x)=F(-4)=4 - lvert -4+4rvert=4
Passo 4
Limite em xto -2: há dois ramos.
– Pela esquerda (xto -2^-) vale o ramo [-6,-2]:
limxto -2^-F(x)=4 - lvert -2+4rvert=4-2=2
– Pela direita (xto -2^+) vale o ramo (-2,2):
limxto -2^+F(x)=1 + lvert -2rvert=1+2=3
Como 2neq 3, o limite limxto -2F(x) não existe.
Passo 5
Limite em xto 0: 0 está no ramo (-2,2) e ali F(x)=1+|x| é contínua. Logo
limxto 0F(x)=F(0)=1+0=1
Passo 6
Limite em xto 2: de novo dois ramos.
– Pela esquerda (xto 2^-) no ramo (-2,2):
limxto 2^-F(x)=1 + lvert 2rvert=3
– Pela direita (xto 2^+) no ramo [2,6]:
limxto 2^+F(x)=4 - lvert 2-4rvert=4-2=2
Como 3neq 2, o limite limxto 2F(x) não existe.
Passo 7
Limite em xto 4: 4 está no interior de [2,6], onde F(x)=4-|x-4| é contínua. Então
limxto 4F(x)=F(4)=4 - 0=4
Resposta
limxto -4F(x)=4 (existe), limxto -2F(x) não existe, limxto 0F(x)=1 (existe), limxto 2F(x) não existe, limxto 4F(x)=4 (existe).