Calcule as integrais
integral -x^2-3 xx^3+x^2+x+1 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral de uma função racional
Conteúdo: decomposição em frações parciais de polinômios
Para resolver, vamos fatorar o denominador, decompor em frações simples e integrar cada termo.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador
x^3 + x^2 + x + 1 = (x+1)(x^2+1)

Passo 3

Em seguida, fazemos a decomposição em frações parciais
-x^2 - 3x(x+1)(x^2+1) = Ax+1 + Bx + Cx^2+1
Multiplicando em ambos os lados por (x+1)(x^2+1) e igualando coeficientes:
-x^2 - 3x = A(x^2+1) + (Bx + C)(x+1)
Isso gera o sistema
A + B = -1 B + C = -3 A + C = 0
Resolvendo, encontramos
A = 1, B = -2, C = -1

Passo 4

Agora reescrevemos a integral usando essas constantes e integramos termo a termo
integral -x^2 - 3xx^3 + x^2 + x + 1 ,dx = integral 1x+1 ,dx + integral -2xx^2+1 ,dx + integral -1x^2+1 ,dx
Sabendo que
integral 1x+1 ,dx = ln|x+1|, integral -2xx^2+1 ,dx = -ln(x^2+1), integral -1x^2+1 ,dx = -arctan(x),
obtemos a antiderivada

Passo 5

Resposta

lnl|x+1r| - ln(x^2+1) - arctan(x) + C ou equivalentemente lnx+1x^2+1 - arctan(x) + C

Exercícios relacionados