Encontre f sabendo que f(0)=4 e f^prime(0)=-3 e
f^prime prime(x)=2 sen(x)-3 cos (x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a função $ f(x) $ sabendo que:
  • $ f(0) = 4 $ (ou seja, o valor de $ f $ quando $ x = 0 $ é 4)
  • $ f’(0) = -3 $ (a derivada de $ f $ em $ x = 0 $ é -3)
  • A segunda derivada de $ f $ é dada por $ f’’(x) = 2 \sin(x) - 3 \cos(x) $
Para resolver isso, vamos integrar a segunda derivada para encontrar a primeira derivada $ f’(x) $ e, depois, integrar $ f’(x) $ para encontrar a função original $ f(x) $. Também utilizaremos as condições iniciais para determinar as constantes de integração que surgirem durante o processo.

Passo 2

Vamos começar integrando a segunda derivada $ f’’(x) $ para encontrar a primeira derivada $ f’(x) $.
f''(x)
Integrando termo a termo:
f'(x)
Aqui, $ C $ é a constante de integração que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, usamos a condição inicial $ f’(0) = -3 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ f’(x) $:
f'(0) = -3
Então, a expressão para $ f’(x) $ fica:
C

Passo 4

Agora, vamos integrar $ f’(x) $ para encontrar a função $ f(x) $.
f'(x)
Integrando termo a termo:
f(x)
Aqui, $ D $ é outra constante de integração que precisamos determinar.

Passo 5

Usamos a condição inicial $ f(0) = 4 $ para encontrar o valor de $ D $.
Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ f(x) $:
f(0) = 4
Então, a expressão final para $ f(x) $ é:
D

Resposta

f(x) = -2 sin(x) + 3 cos(x) - x + 1

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