Encontre
sabendo que
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a função $ f(x) $ sabendo que:
- $ f(0) = 4 $ (ou seja, o valor de $ f $ quando $ x = 0 $ é 4)
- $ f’(0) = -3 $ (a derivada de $ f $ em $ x = 0 $ é -3)
- A segunda derivada de $ f $ é dada por $ f’’(x) = 2 \sin(x) - 3 \cos(x) $
Para resolver isso, vamos integrar a segunda derivada para encontrar a primeira derivada $ f’(x) $ e, depois, integrar $ f’(x) $ para encontrar a função original $ f(x) $. Também utilizaremos as condições iniciais para determinar as constantes de integração que surgirem durante o processo.
Passo 2
Vamos começar integrando a segunda derivada $ f’’(x) $ para encontrar a primeira derivada $ f’(x) $.
Integrando termo a termo:
Aqui, $ C $ é a constante de integração que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, usamos a condição inicial $ f’(0) = -3 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ f’(x) $:
Então, a expressão para $ f’(x) $ fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar $ f’(x) $ para encontrar a função $ f(x) $.
Integrando termo a termo:
Aqui, $ D $ é outra constante de integração que precisamos determinar.
Passo 5
Usamos a condição inicial $ f(0) = 4 $ para encontrar o valor de $ D $.
Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ f(x) $:
Então, a expressão final para $ f(x) $ é: