Determine a derivada da função
g(x)=integral0^cos (x) 3 arccos (t)^3+5 arccos (t)^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função $ g(x) = \int_{0}^{\cos (x)} \left(3 \arccos (t)^{3} + 5 \arccos (t)^{2}\right) dt $. Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente com derivadas e integrais definidas. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema nos ajuda a relacionar derivadas e integrais. Se temos uma função definida por uma integral com limite dependente de $ x $, a derivada dessa função em relação a $ x $ pode ser encontrada avaliando a função dentro da integral no limite superior e multiplicando pela derivada desse limite.

Passo 3

No nosso caso, a função $ g(x) $ tem como limite superior $ \cos(x) $. Então, para encontrar $ g’(x) $, vamos:
  1. Avaliar a função dentro da integral, que é $ 3 \arccos(t)^3 + 5 \arccos(t)^2 $, no limite superior $ t = \cos(x) $.
  2. Multiplicar pelo derivada do limite superior em relação a $ x $, que é $ \frac{d}{dx} \cos(x) $.

Passo 4

Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Avaliando a função no limite superior:
    3 arccos(cos(x))^3 + 5 arccos(cos(x))^2
  2. Sabemos que $ \arccos(\cos(x)) = x $ quando $ x $ está no intervalo de $ 0 $ a $ \pi $, então:
    arccos(cos(x)) = x
  3. A derivada de $ \cos(x) $ em relação a $ x $ é $ -\sin(x) $.

Passo 5

Agora, juntando tudo:
g'(x) = (3x^3 + 5x^2) cdot (-sin(x))
Isso simplifica para:
g'(x) = -(3x^3 + 5x^2) sin(x)

Resposta

A derivada da função é
g'(x) = -(3 x^3 + 5 x^2) sin(x)

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