Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de
no intervalo de 0 a 1. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes que vamos usar na integração por partes. A fórmula para integração por partes é:
Aqui, precisamos escolher
e
de forma estratégica. Vamos deixar:
-
(porque a derivada de é mais simples) -
(o que nos permitirá integrar facilmente)
Passo 3
Agora, vamos encontrar
e
:
-
Derivando
: -
Integrando
para encontrar :
Passo 4
Substituindo
,
,
, e
na fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral que ficou:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral restante:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa expressão no intervalo de 0 a 1:
Quando
:
Então, a expressão em
fica:
Quando
:
-
(pois tende a 0 mais rápido que tende a ) -
Então, a expressão em
fica:
Resposta
Portanto, a integral vale
.