Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
integral0^1 ln (x) x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de ln(x) cdot x^4 no intervalo de 0 a 1. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que vamos usar na integração por partes. A fórmula para integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher u e dv de forma estratégica. Vamos deixar:
  • u = ln(x) (porque a derivada de ln(x) é mais simples)
  • dv = x^4 dx (o que nos permitirá integrar facilmente)

Passo 3

Agora, vamos encontrar du e v:
  • Derivando u:
    du = 1x dx
  • Integrando dv para encontrar v:
    v = integral x^4 dx = x^55

Passo 4

Substituindo u, v, du, e dv na fórmula de integração por partes:
integral ln(x) cdot x^4 dx = ln(x) cdot x^55 - integral x^55 cdot 1x dx
Simplificando a integral que ficou:
= x^5 ln(x)5 - 15 integral x^4 dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral restante:
integral x^4 dx = x^55 + C
Substituindo de volta:
x^5 ln(x)5 - 15 cdot x^55 = x^5 ln(x)5 - x^525

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão no intervalo de 0 a 1:
[ x^5 ln(x)5 - x^525 ]0^1
Quando x = 1:
  • ln(1) = 0
  • 1^5 ln(1)5 = 0
  • 1^525 = 125
Então, a expressão em x=1 fica:
0 - 125 = -125
Quando x = 0:
  • limx to 0^+ x^5 ln(x) = 0 (pois x^5 tende a 0 mais rápido que ln(x) tende a -infty)
  • 0^525 = 0
Então, a expressão em x=0 fica:
0 - 0 = 0

Resposta

Portanto, a integral vale -dfrac125.

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