Calcule as integrais
integral1^2 x^3+x^2+42 x^3 d x integral0^2(3 x^2+2)(1+2 x) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular duas integrais definidas. O conteúdo é aplicação da linearidade da integral, simplificação algébrica do integrando, regra da potência para polinômios e a fórmula integral 1/x,dx=ln x.

Passo 2

Na primeira integral, simplificamos o integrando:
x^3 + x^2 + 42x^3= x^32x^3 + x^22x^3 + 42x^3= tfrac12 + tfrac12x + 2x^-3

Passo 3

A primitiva é
F(x)=integrall(tfrac12 + tfrac12x + 2x^-3r)dx = tfracx2 + tfrac12ln x - tfrac1x^2

Passo 4

Agora avaliamos de 1 a 2:
F(2)=1 + tfrac12ln 2 - tfrac14=tfrac34 + tfrac12ln 2, F(1)=tfrac12 + 0 -1=-tfrac12
Logo,
integral1^2x^3+x^2+42x^3dx=F(2)-F(1)=tfrac34+tfrac12ln2 -(-tfrac12)=tfrac54+tfrac12ln2

Passo 5

Para a segunda integral, expandimos o produto:
(3x^2+2)(1+2x)=6x^3+3x^2+4x+2
A primitiva é
G(x)=integral(6x^3+3x^2+4x+2)dx=tfrac6x^44+x^3+2x^2+2x=tfrac32x^4+x^3+2x^2+2x

Passo 6

Agora avaliamos de 0 a 2:
G(2)=tfrac32cdot16+8+8+4=44, G(0)=0
Logo,
integral0^2(3x^2+2)(1+2x)dx=G(2)-G(0)=44

Resposta

A primeira integral vale tfrac54 + tfrac12ln2 e a segunda vale 44.

Exercícios relacionados