Calcule as integrais
Passo 1
Estamos com a integral
, que faz parte de cálculo integral e exige decomposição em frações parciais para integrarmos funções racionais.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador
. Note que
.
Suponha a decomposição
Suponha a decomposição
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
e igualamos os polinômios:
Passo 4
Expandindo e coletando termos em potências de
, obtemos o sistema:
$$\begin{cases}A+B+C=0,\ A-B+D=0,\ A+B-C=3,\ A-B-D=2.
\end{cases}$$
Passo 5
Resolvendo: de
e
vem
,
. De
vem
. E de
vem
.
Passo 6
Reescrevendo a integral em frações simples:
Passo 7
Agora integramos cada parte usando
,
e
.
Após a integração e somando as constantes, obtemos o resultado.
Após a integração e somando as constantes, obtemos o resultado.
Resposta
[\frac{5}{4}\ln|x-1|+\frac{1}{4}\ln|x+1|-\frac{3}{4}\ln(x^2+1)-\arctan x+C]