Calcule as integrais
integral 3 x+2x^4-1 d x

Passo 1

Estamos com a integral integral 3x+2x^4-1,dx, que faz parte de cálculo integral e exige decomposição em frações parciais para integrarmos funções racionais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^4-1. Note que x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1).
Suponha a decomposição
3x+2(x-1)(x+1)(x^2+1)=Ax-1+Bx+1+Cx+Dx^2+1

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x+1)(x^2+1) e igualamos os polinômios:
3x+2=A(x+1)(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)+(Cx+D)(x^2-1)

Passo 4

Expandindo e coletando termos em potências de x, obtemos o sistema:
$$\begin{cases}A+B+C=0,\ A-B+D=0,\ A+B-C=3,\ A-B-D=2.
\end{cases}$$

Passo 5

Resolvendo: de A+B=3/2 e A-B=1 vem A=5/4, B=1/4. De -2C=3 vem C=-3/2. E de D=-A+B vem D=-1.

Passo 6

Reescrevendo a integral em frações simples:
integral3x+2x^4-1,dx=integrall(5/4x-1+1/4x+1+-tfrac32x-1x^2+1r)dx

Passo 7

Agora integramos cada parte usando integral dx/(x-a)=ln|x-a|, integral x/(x^2+1)dx=tfrac12ln(x^2+1) e integral dx/(x^2+1)=arctan x.
Após a integração e somando as constantes, obtemos o resultado.

Resposta

[\frac{5}{4}\ln|x-1|+\frac{1}{4}\ln|x+1|-\frac{3}{4}\ln(x^2+1)-\arctan x+C]

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