Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
integral2^infty 1e^2 x d x

Passo 1

Estamos lidando com uma integral imprópria de 2 a ∞ da função 1/e^{2x}. O conteúdo é integrais impróprias e vamos usar o conceito de limite quando o parâmetro de integração vai a infinito.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o integrando como uma exponencial negativa: 1e^2x = e^-2x. Sabendo que a antiderivada de e^ax é 1ae^ax, para a = -2 obtemos F(x) = -tfrac12e^-2x.

Passo 3

Transformamos a integral em um limite:
integral2^infty e^-2x ,dx = limbtoinfty l[-tfrac12e^-2xr]2^b

Passo 4

Agora avaliamos o limite. Quando x to infty, temos e^-2xto 0, então
limbtoinfty l(-tfrac12e^-2br) = 0

Passo 5

Subtraindo o valor em 2, obtemos
0 - l(-tfrac12e^-4r) = tfrac12e^-4

Passo 6

Portanto, a integral converge e seu valor é tfrac12e^-4.

Resposta

tfrac12e^-4

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