Calcule as integrais
integral x^3(ln (x))^2 d x

Passo 1

Estamos com a integral integral x^3(ln x)^2,dx. O conteúdo aqui é integração por partes, que usa a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du. Vamos precisar escolher funções u e dv de forma a simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos u = (ln x)^2 e dv = x^3,dx. Assim, calculamos
$$du = 2\frac{\ln x}{x},dx, \qquad v = \int x^{3},dx = \frac{x^{4}}{4}.
du = 2ln xx,dx, v = integral x^3,dx = x^44 ó
\int x^{3}(\ln x)^{2},dx = \frac{x^{4}}{4}(\ln x)^{2} - \int \frac{x^{4}}{4} \cdot 2\frac{\ln x}{x},dx.
integral x^3(ln x)^2,dx = x^44(ln x)^2 - integral x^44 cdot 2ln xx,dx
\frac{x^{4}}{4}(\ln x)^{2} - \frac{1}{2} \int x^{3}\ln x,dx.
$$

Passo 3

Agora precisamos calcular integral x^3ln x,dx. Fazemos outra integração por partes: escolhemos u = ln x, dv = x^3,dx. Logo
$$du = \frac{1}{x},dx, \qquad v = \frac{x^{4}}{4}.
du = 1x,dx, v = x^44 ó
\int x^{3}\ln x,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \int \frac{x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{x},dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \frac{1}{4} \int x^{3},dx.
integral x^3ln x,dx = x^44ln x - integral x^44 cdot 1x,dx = x^44ln x - 14 integral x^3,dx
\int x^{3},dx = \frac{x^{4}}{4},
integral x^3,dx = x^44,
\int x^{3}\ln x,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \frac{x^{4}}{16}.
$$

Passo 4

Substituindo esse resultado de volta em
x^44(ln x)^2 - 12 integral x^3ln x,dx, temos:
integral x^3(ln x)^2,dx = x^44(ln x)^2 - 12l(x^44ln x - x^416r)
Distribuindo e simplificando:
= x^44(ln x)^2 - x^48ln x + x^432 + C

Passo 5

Pronto! Chegamos à forma final da antiderivada.

Resposta

x^44(ln x)^2 - x^48ln x + x^432 + C

Exercícios relacionados