Calcule as integrais
Passo 1
Estamos com a integral
. O conteúdo aqui é integração por partes, que usa a fórmula
. Vamos precisar escolher funções
e
de forma a simplificar a integral.
Passo 2
Escolhemos
e
. Assim, calculamos
$$du = 2\frac{\ln x}{x},dx, \qquad v = \int x^{3},dx = \frac{x^{4}}{4}.
\int x^{3}(\ln x)^{2},dx = \frac{x^{4}}{4}(\ln x)^{2} - \int \frac{x^{4}}{4} \cdot 2\frac{\ln x}{x},dx.
\frac{x^{4}}{4}(\ln x)^{2} - \frac{1}{2} \int x^{3}\ln x,dx.
$$
Passo 3
Agora precisamos calcular
. Fazemos outra integração por partes: escolhemos
,
. Logo
$$du = \frac{1}{x},dx, \qquad v = \frac{x^{4}}{4}.
\int x^{3}\ln x,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \int \frac{x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{x},dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \frac{1}{4} \int x^{3},dx.
\int x^{3},dx = \frac{x^{4}}{4},
\int x^{3}\ln x,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \frac{x^{4}}{16}.
$$
Passo 4
Substituindo esse resultado de volta em
, temos:
Distribuindo e simplificando:
Passo 5
Pronto! Chegamos à forma final da antiderivada.