Calcule as integrais
integral1^2 4 x^3+13 x^2 d x integral1^3(5 x^2+4)(1-1x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas duas integrais que você enviou! A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais definidas, onde vamos simplificar os termos dentro das integrais e aplicar as regras de integração que a gente estudou. Vamos precisar entender como quebrar frações e como lidar com polinômios e funções racionais dentro das integrais.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
integral1^2 4 x^3 + 13 x^2 , dx
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da integral. Dividir cada termo do numerador pelo denominador:
4 x^33 x^2 + 13 x^2 = 43 x + 13 x^-2
Então, a integral fica:
integral1^2 ( 43 x + 13 x^-2 ) , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que:
  • A integral de x^n é x^n+1n+1, desde que n neq -1.
  • A integral de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pela integral da função.
Aplicando isso:
  1. Para 43 x:
    43 cdot x^22 = 43 cdot x^22 = 23 x^2
  2. Para 13 x^-2:
    13 cdot x^-1-1 = -13 x^-1 = -13x

Passo 4

Agora, juntando os resultados das integrais:
23 x^2 - 13x gr|1^2
Vamos substituir os limites de integração.
Primeiro, para x = 2:
23 (2)^2 - 13 cdot 2 = 23 cdot 4 - 16 = 83 - 16 = 166 - 16 = 156 = 52
Depois, para x = 1:
23 (1)^2 - 13 cdot 1 = 23 - 13 = 13
Subtraindo os valores:
52 - 13 = 156 - 26 = 136

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral:
integral1^3(5 x^2+4)(1-1x) , dx
Primeiro, vamos expandir o produto dentro da integral para simplificar:
(5x^2 + 4)(1 - 1x) = 5x^2 cdot 1 + 5x^2 cdot (-1x) + 4 cdot 1 + 4 cdot (-1x)
Simplificando cada termo:
5x^2 - 5x + 4 - 4x
Então, a integral fica:
integral1^3 (5x^2 - 5x + 4 - 4x) , dx

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Para 5x^2:
    5 cdot x^33 = 53 x^3
  2. Para -5x:
    -5 cdot x^22 = -52 x^2
  3. Para 4:
    4x
  4. Para -4x:
    -4 cdot ln|x|

Passo 7

Juntando os resultados das integrais:
53 x^3 - 52 x^2 + 4x - 4 ln|x| gr|1^3
Vamos substituir os limites de integração.
Primeiro, para x = 3:
53 (3)^3 - 52 (3)^2 + 4(3) - 4 ln(3) = 53 cdot 27 - 52 cdot 9 + 12 - 4 ln(3) = 45 - 452 + 12 - 4 ln(3) = 45 - 22,5 + 12 - 4 ln(3) = 34,5 - 4 ln(3)
Depois, para x = 1:
53 (1)^3 - 52 (1)^2 + 4(1) - 4 ln(1) = 53 - 52 + 4 - 0 = 106 - 156 + 246 = 196
Subtraindo os valores:
(34,5 - 4 ln(3)) - 196 = 2076 - 196 - 4 ln(3) = 1886 - 4 ln(3) = 943 - 4 ln(3)

Resposta

A primeira integral vale 136 e a segunda integral vale 943 - 4 ln(3).

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