Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar o conteúdo de frações parciais e integração de funções racionais. Primeiro, precisamos fatorar o denominador e depois decompor a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Observando, percebemos que:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 4
Vamos expandir e agrupar os termos:
Agrupando:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Passo 5
Resolvendo o sistema:
- Da equação 1:
- Da equação 3:
Então, $ -B = -C $ → $ B = C $
Substituindo na equação 2:
E, de
:
Passo 6
Agora, substituímos os valores de
,
e
de volta na decomposição:
Passo 7
Vamos separar a integral em partes:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo:
-
-
: aqui usamos a substituição , então , o que resulta em -
Passo 9
Juntando tudo:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.