Calcule as integrais:
integral 4 xx^3+x^2+x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 4xx^3+x^2+x+1 , dx. Para isso, vamos usar o conteúdo de frações parciais e integração de funções racionais. Primeiro, precisamos fatorar o denominador e depois decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + x^2 + x + 1. Observando, percebemos que:
x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)
Então, a integral fica:
integral 4x(x + 1)(x^2 + 1) , dx

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 4x(x + 1)(x^2 + 1) em frações parciais. Vamos supor que:
4x(x + 1)(x^2 + 1) = Ax + 1 + Bx + Cx^2 + 1
Multiplicando ambos os lados por (x + 1)(x^2 + 1), temos:
4x = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x + 1)

Passo 4

Vamos expandir e agrupar os termos:
4x = A x^2 + A + Bx^2 + Bx + Cx + C
Agrupando:
(A + B) x^2 + (B + C) x + (A + C) = 4x
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes:
  1. A + B = 0 (coeficiente de x^2)
  2. B + C = 4 (coeficiente de x)
  3. A + C = 0 (termo constante)

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  • Da equação 1: A = -B
  • Da equação 3: A = -C
Então, $ -B = -C $ → $ B = C $
Substituindo na equação 2:
-B = -C
E, de B = C :
B + B = 4 Rightarrow 2B = 4 Rightarrow B = 2 Rightarrow C = 2

Passo 6

Agora, substituímos os valores de A, B e C de volta na decomposição:
4x(x + 1)(x^2 + 1) = -2x + 1 + 2x + 2x^2 + 1

Passo 7

Vamos separar a integral em partes:
integral -2x + 1 , dx + integral 2x + 2x^2 + 1 , dx
Simplificando:
-2 integral 1x + 1 , dx + 2 integral xx^2 + 1 , dx + 2 integral 1x^2 + 1 , dx

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo:
  1. -2 integral 1x + 1 , dx = -2 ln|x + 1|
  2. 2 integral xx^2 + 1 , dx: aqui usamos a substituição u = x^2 + 1, então du = 2x , dx, o que resulta em ln|x^2 + 1|
  3. 2 integral 1x^2 + 1 , dx = 2 arctan(x)

Passo 9

Juntando tudo:
-2 ln|x + 1| + ln|x^2 + 1| + 2 arctan(x) + C

Resposta

A integral integral 4xx^3+x^2+x+1 , dx é igual a:
-2 ln(x + 1) + ln(x^2 + 1) + 2 arctan(x) + C
Onde C é a constante de integração.

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