Seja D a região no primeiro octante que é limitada abaixo por o cone phi=pi / 4 e acima pela esfera rho=3. Expresse o volume de D como um integral tripla em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região D no primeiro octante limitada por φ=π/4 (cone) embaixo e pela esfera ρ=3 em cima, usando coordenadas esféricas. O conteúdo é integral tripla em coordenadas esféricas e vamos precisar do jacobiano ρ² sinφ, além de determinar os limites de ρ, φ e θ.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ sinθ, z=ρ cosφ e o elemento de volume dV=ρ² sinφ dρ dφ dθ. Como D está no primeiro octante, θ varia de 0 a π/2; φ vai de 0 (eixo z) até π/4 (cone); e ρ vai de 0 até 3 (esfera). Assim o volume é dado por:

Resposta

[
\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/4} \int_{0}^{3} \rho^{2} \sin\phi , d\rho , d\phi , d\theta
]

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