Calcule as integrais
integral e^-y cos (2 y) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I = integral e^-ycos(2y),dy
Aqui o conteúdo principal é integração por partes, e vamos precisar usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
escolhendo apropriadamente u e dv.

Passo 2

Definimos
I = integral e^-ycos(2y),dy
e aplicamos integração por partes escolhendo
u = cos(2y) e dv = e^-ydy.
Então
du = -2sin(2y),dy, v = integral e^-ydy = -e^-y
Isso dá
I = u,v - integral v,du = -e^-ycos(2y) - integral(-e^-y)(-2sin(2y)),dy
ou seja
I = -e^-ycos(2y) - 2integral e^-ysin(2y),dy
Chamamos a integral remanescente de J:
J = integral e^-ysin(2y),dy

Passo 3

Para calcular J, aplicamos novamente partes com
u = sin(2y) e dv = e^-ydy:
du = 2cos(2y),dy, v = -e^-y
Então
J = -e^-ysin(2y) - integral(-e^-y)(2cos(2y)),dy
isto é
J = -e^-ysin(2y) + 2integral e^-ycos(2y),dy = -e^-ysin(2y) + 2I

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações:
I = -e^-ycos(2y) - 2J,
J = -e^-ysin(2y) + 2I
Substituímos J na primeira equação:
I = -e^-ycos(2y) - 2(-e^-ysin(2y) + 2I)
que simplifica para
I = -e^-ycos(2y) + 2e^-ysin(2y) - 4I
ou seja
5I = e^-y(2sin(2y) - cos(2y))
Dividindo por 5, encontramos I.

Resposta

integral e^-ycos(2y),dy = e^-y5l(2sin(2y)-cos(2y)r) + C

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