Considere a região delimitada pelos gráficos de y=ln (x) e pela reta x=ln 2, y=0 e x=e.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo das abscissas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo das abscissas, da região limitada pelos gráficos de y=ln(x), pela reta vertical x=ln 2, pela reta vertical x=e e pela reta horizontal y=0. O conteúdo aqui é “volume por rotação de região plana” e vamos usar o método dos discos, cuja fórmula geral é V=piintegrala^b [R(x)]^2 ,dx.

Passo 2

Para cada x em [ln 2,e] o raio do disco é a distância entre a curva y=ln(x) e o eixo x. Como às vezes ln(x) é negativo (quando x<1), usamos R(x)=|ln(x)|. Mas, ao elevar ao quadrado, fica simplesmente [ln(x)]^2. Assim
V=piintegralln 2^e [ln(x)]^2 ,dx

Passo 3

Para calcular integral [ln(x)]^2 ,dx, usamos integração por partes: seja u=(ln x)^2 e dv=dx. Então du=2ln xxdx e v=x. Temos
integral (ln x)^2 ,dx = x(ln x)^2 - integral x cdot 2ln xx ,dx = x(ln x)^2 - 2integral ln x ,dx

Passo 4

Para integral ln x ,dx de novo por partes: seja u=ln x, dv=dx, então du=1x dx, v=x. Logo
integral ln x ,dx = xln x - x + C

Passo 5

Substituindo voltamos em
integral (ln x)^2 ,dx = x(ln x)^2 -2l(xln x - xr) + C = x(ln x)^2 -2xln x +2x + C

Passo 6

Agora avaliamos entre x=ln2 e x=e: em x=e obtemos
ecdot1^2 -2ecdot1 +2e = e,
e em x=ln2
ln2,(ln(ln2))^2 -2ln2,ln(ln2) +2ln2

Passo 7

Logo o volume é
V=pil[e -l(ln2,(ln(ln2))^2 -2ln2,ln(ln2) +2ln2r)r]

Resposta

V = \pi\Bigl[e - \ln2\bigl((\ln(\ln2))^2 - 2\ln(\ln2) +2\bigr)\Bigr]

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