Considere a região delimitada pelos gráficos de
e pela reta
e
.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo das abscissas.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo das abscissas.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo das abscissas, da região limitada pelos gráficos de y=ln(x), pela reta vertical x=ln 2, pela reta vertical x=e e pela reta horizontal y=0. O conteúdo aqui é “volume por rotação de região plana” e vamos usar o método dos discos, cuja fórmula geral é
.
Passo 2
Para cada x em
o raio do disco é a distância entre a curva
e o eixo
. Como às vezes
é negativo (quando
), usamos
. Mas, ao elevar ao quadrado, fica simplesmente
. Assim
Passo 3
Para calcular
, usamos integração por partes: seja
e
. Então
e
. Temos
Passo 4
Para
de novo por partes: seja
,
, então
,
. Logo
Passo 5
Substituindo voltamos em
Passo 6
Agora avaliamos entre
e
: em
obtemos
e em
Passo 7
Logo o volume é
Resposta
V = \pi\Bigl[e - \ln2\bigl((\ln(\ln2))^2 - 2\ln(\ln2) +2\bigr)\Bigr]