Determinar o máximo e o mínimo absolutos das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os máximos e mínimos absolutos da função $ z = y^{3} + 3x^{2}y - 6x^{2} - 6y^{2} + 2 $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente no estudo de extremos de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos críticos da função, ou seja, onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Depois, vamos analisar esses pontos para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ z $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $ é:
A derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, temos:
Vamos simplificar a equação (1):
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ x = 0 $
- $ y = 2 $
Passo 4
Vamos analisar cada caso:
Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo $ x = 0 $ na equação (2):
Então, $ y = 0 $ ou $ y = 4 $.
Portanto, temos dois pontos críticos:
- $ (0, 0) $
- $ (0, 4) $
Caso 2: $ y = 2 $
Substituindo $ y = 2 $ na equação (2):
Portanto, temos mais dois pontos críticos:
- $ (2, 2) $
- $ (-2, 2) $
Passo 5
Agora, temos quatro pontos críticos para analisar:
- $ (0, 0) $
- $ (0, 4) $
- $ (2, 2) $
- $ (-2, 2) $
Vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se cada ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela.
Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
O determinante da matriz hessiana é dado por:
Passo 6
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico:
- Ponto $ (0, 0) $:
Como $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} < 0 $, o ponto é um máximo relativo.
- Ponto $ (0, 4) $:
Como $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} > 0 $, o ponto é um mínimo relativo.
- Ponto $ (2, 2) $:
Como $ D < 0 $, o ponto é um ponto de sela.
- Ponto $ (-2, 2) $:
Como $ D < 0 $, o ponto também é um ponto de sela.
Resposta
Após analisar todos os pontos críticos, concluímos que a função $ z = y^{3} + 3x^{2}y - 6x^{2} - 6y^{2} + 2 $ apresenta:
- Máximo relativo em $ (0, 0) $
- Mínimo relativo em $ (0, 4) $
- Pontos de sela em $ (2, 2) $ e $ (-2, 2) $
Como estamos trabalhando no domínio de todas as possíveis $ x $ e $ y $, esses são os extremos absolutos da função.