Calcule as integrais:
integral 2 cotg x-3 sen^2 xsen x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . A matéria envolvida aqui são as integrais e as funções trigonométricas. Vamos precisar simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
Sabemos que , então substituindo:
Simplificando os termos:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão para facilitar a integração:
Isso nos dá duas integrais separadas para resolver:

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
Aqui, podemos usar uma substituição. Vamos deixar , então 2 integral cos(x)sen^2(x) , dx = 2 integral 1u^2 , du . Reescrevendo a integral:

Passo 5

Integrando 2 integral u^-2 , du = 2 ( -u^-1 ) + C = -2u + C = -2sen(x) + C :

Passo 6

Agora, vamos para a segunda integral:
A integral de é integral 3 sen(x) , dx = -3 cos(x) + C , então:

Passo 7

Juntando as duas integrais que resolvemos:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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