Uma cultura de bactérias com uma população inicial de 100 unidades cresce a uma taxa de
bactérias por hora. Determine quantas unidades existirão após 5 horas
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cultura de bactérias que começa com 100 unidades e está crescendo a uma taxa de
bactérias por hora. Nosso objetivo é descobrir quantas bactérias existirão após 5 horas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, que nos ajudam a encontrar a quantidade total a partir de uma taxa de crescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a taxa de crescimento das bactérias é dada por:
Aqui,
representa a taxa de variação da quantidade de bactérias ao longo do tempo
.
Passo 3
Para encontrar a quantidade total de bactérias após 5 horas, precisamos integrar essa taxa de crescimento em relação ao tempo. A integral nos dará a quantidade total adicionada às bactérias ao longo do tempo.
A integral da taxa de crescimento é:
Onde:
-
é a quantidade de bactérias no tempo . -
é a quantidade inicial de bactérias (100 unidades). -
é a variável de integração.
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Aqui,
é a constante de integração, que será eliminada ao calcular a integral definida.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 0 a 5 horas:
Sabemos que
é uma constante que podemos calcular usando uma calculadora:
Passo 6
Substituindo na equação:
Agora, adicionamos a quantidade inicial de bactérias:
Resposta
Após 5 horas, existirão aproximadamente 301.273 bactérias na cultura.