Uma cultura de bactérias com uma população inicial de 100 unidades cresce a uma taxa de 250 cdot e^1,5 t bactérias por hora. Determine quantas unidades existirão após 5 horas

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cultura de bactérias que começa com 100 unidades e está crescendo a uma taxa de bactérias por hora. Nosso objetivo é descobrir quantas bactérias existirão após 5 horas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, que nos ajudam a encontrar a quantidade total a partir de uma taxa de crescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a taxa de crescimento das bactérias é dada por:
dNdt = 250 cdot e^1,5 t
Aqui, representa a taxa de variação da quantidade de bactérias ao longo do tempo .

Passo 3

Para encontrar a quantidade total de bactérias após 5 horas, precisamos integrar essa taxa de crescimento em relação ao tempo. A integral nos dará a quantidade total adicionada às bactérias ao longo do tempo.
A integral da taxa de crescimento é:
N(t) = N0 + integral0^t 250 cdot e^1,5 tau , dtau
Onde:
  • é a quantidade de bactérias no tempo .
  • é a quantidade inicial de bactérias (100 unidades).
  • é a variável de integração.

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral 250 cdot e^1,5 tau , dtau = 2501,5 cdot e^1,5 tau + C
= 2501,5 cdot e^1,5 tau + C approx 166,67 cdot e^1,5 tau + C
Aqui, é a constante de integração, que será eliminada ao calcular a integral definida.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a 5 horas:
integral0^5 250 cdot e^1,5 tau , dtau = 166,67 cdot ( e^1,5 cdot 5 - e^0 )
= 166,67 cdot ( e^7,5 - 1 )
Sabemos que e^7,5 approx 1808,04 é uma constante que podemos calcular usando uma calculadora:

Passo 6

Substituindo na equação:
166,67 cdot (1808,04 - 1) = 166,67 cdot 1807,04 approx 301173,33
Agora, adicionamos a quantidade inicial de bactérias:
N(5) = 100 + 301173,33 approx 301273,33

Resposta

Após 5 horas, existirão aproximadamente 301.273 bactérias na cultura.

Exercícios relacionados