Calcule as integrais.
integral0^1 10(x+1)(x^2+1) d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
integral0^1 10(x+1)(x^2+1),dx
É uma integral de função racional. Vamos usar decomposição em frações parciais e depois integrar usando primitivas de ln e arctan.

Passo 2

Para frações parciais, escrevemos
10(x+1)(x^2+1) = Ax+1 + Bx + Cx^2+1
Isso permite separar em pedaços que sabemos integrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^2+1) obtemos
10 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+1)
Expandindo e igualando coeficientes de x^2, x e termo constante, temos o sistema
A + B = 0, B + C = 0, A + C = 10
Resolvendo dá A = 5, B = -5, C = 5.

Passo 4

Com esses valores,
10(x+1)(x^2+1) = 5x+1 + -5x+5x^2+1
Então a integral vira
integral0^1l(5x+1 - 5xx^2+1 + 5x^2+1r),dx

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral 5x+1,dx = 5ln(x+1),
integral -5xx^2+1,dx = -tfrac52ln(x^2+1),
integral 5x^2+1,dx = 5arctan x
Uma primitiva conjunta é
F(x) = 5ln(x+1) - tfrac52ln(x^2+1) + 5arctan x

Passo 6

Para calcular a integral definida usamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^1 f(x),dx = F(1) - F(0)
Basta avaliar F(x) em x=1 e x=0 e fazer a diferença.

Resposta

52ln 2 + 5pi4

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