Calcule
nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a 20ª derivada de $ f(x) = x \sin x $ avaliada em zero, ou seja, $ f^{(20)}(0) $. Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que nos ajuda a expandir funções em potências de $ x $. Vamos precisar conhecer a série de Taylor da função seno e como multiplicar séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função seno. A série de $ \sin x $ em torno de zero é:
Isso significa que podemos escrever $ \sin x $ como uma soma infinita de termos com potências ímpares de $ x $.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa série por $ x $ para obter a série de $ f(x) = x \sin x $:
Então, a série de $ f(x) $ fica com potências pares de $ x $.
Passo 4
A série de Taylor de uma função geral $ f(x) $ é dada por:
Comparando com a série que obtivemos para $ f(x) $, vemos que cada coeficiente de $ x^n $ na série de $ f(x) $ é igual a $ \frac{f^{(n)}(0)}{n!} $.
Passo 5
Queremos encontrar $ f^{(20)}(0) $. Observando a série de $ f(x) $, buscamos o termo que multiplica $ x^{20} $:
Para que $ 2k + 2 = 20 $, precisamos que $ k = 9 $.
Passo 6
Substituindo $ k = 9 $ na expressão acima, temos:
Comparando com a série de Taylor, isso equivale a:
Passo 7
Resolvendo para $ f^{(20)}(0) $:
Resposta
$ f^{(20)}(0) = -20 $