Calcule f^(20)(0) nos seguintes casos:
f(x)=x sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a 20ª derivada de $ f(x) = x \sin x $ avaliada em zero, ou seja, $ f^{(20)}(0) $. Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que nos ajuda a expandir funções em potências de $ x $. Vamos precisar conhecer a série de Taylor da função seno e como multiplicar séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função seno. A série de $ \sin x $ em torno de zero é:
sin x
Isso significa que podemos escrever $ \sin x $ como uma soma infinita de termos com potências ímpares de $ x $.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa série por $ x $ para obter a série de $ f(x) = x \sin x $:
x
Então, a série de $ f(x) $ fica com potências pares de $ x $.

Passo 4

A série de Taylor de uma função geral $ f(x) $ é dada por:
f(x)
Comparando com a série que obtivemos para $ f(x) $, vemos que cada coeficiente de $ x^n $ na série de $ f(x) $ é igual a $ \frac{f^{(n)}(0)}{n!} $.

Passo 5

Queremos encontrar $ f^{(20)}(0) $. Observando a série de $ f(x) $, buscamos o termo que multiplica $ x^{20} $:
f^(20)(0)
Para que $ 2k + 2 = 20 $, precisamos que $ k = 9 $.

Passo 6

Substituindo $ k = 9 $ na expressão acima, temos:
k = 9
Comparando com a série de Taylor, isso equivale a:
(-1)^9(19)! x^20

Passo 7

Resolvendo para $ f^{(20)}(0) $:
f^(20)(0)

Resposta

$ f^{(20)}(0) = -20 $

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