Calcule os limites.
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo: calcular o limite quando $ x $ tende ao infinito da expressão $ \ln(x^{2}+2) - \ln(3x^{2}+5) $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos logaritmos: $ \ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right) $. Então, podemos reescrever a expressão original assim:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite de $ \ln\left(\frac{x{2}+2}{3x{2}+5}\right) $ quando $ x $ tende ao infinito. Para isso, vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
À medida que $ x $ cresce, os termos $ \frac{2}{x^{2}} $ e $ \frac{5}{x^{2}} $ tendem a zero. Então, a fração simplifica para:
Passo 4
Agora que sabemos que a fração dentro do logaritmo tende a $ \frac{1}{3} $, podemos calcular o limite: