Calcule as integrais:
integral0^pi / 2 sen x cos (cos x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^pi/2 sin x ,cosl(cos xr),dx
O conteúdo principal aqui é o método de substituição em integrais, onde trocamos a variável de integração para simplificar o integrando.

Passo 2

Observamos que dentro de cos(cos x) aparece cos x e que fora temos sin x,dx. Isso sugere a substituição
u = cos x,
cuja derivada é
du = -sin x,dx Longrightarrow sin x,dx = -,du

Passo 3

Precisamos também ajustar os limites de integração. Quando x=0, temos
u = cos(0) = 1,
e quando x=pi/2, temos
u = cosl(pi/2r) = 0
Portanto a integral original se torna
integralx=0^x=pi/2 sin x,cosl(cos xr),dx = integralu=1^u=0 cos(u),l(-dur)

Passo 4

Tirando o sinal de menos e invertendo os limites, obtemos
integralu=1^u=0 cos(u),(-du) = integralu=0^u=1 cos(u),du
Agora basta integrar cos(u):
integral cos(u),du = sin(u)

Passo 5

Avaliando de u=0 até u=1, fica
integral0^1 cos(u),du = l[sin(u)r]0^1 = sin(1) - sin(0) = sin(1)

Resposta

sin(1)

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