Para que valores de a e b a função f é contínua em todo número real?
f(x)=lx^3-8x-2, se x neq 2 a, se x=2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= dfracx^3-8x-2, & xneq2, a, & x=2,
e pergunta “para que valores de a e b a função é contínua em todo número real?”.
Repare que só aparece o parâmetro a na definição de f; não há nenhum b.

Passo 2

Uma função dada por fórmula algébrica é contínua em todos os pontos onde a fórmula está bem definida. Aqui tfracx^3-8x-2 está bem definida e contínua para todo xneq2. Logo não há nenhum problema de continuidade exceto possivelmente em x=2.

Passo 3

Para xneq2, não precisamos impor nada a a (nem a um eventual b) — a função já é contínua. O único ponto crítico é x=2.

Passo 4

Para que f seja contínua em x=2, precisamos que
limxto2x^3-8x-2
exista e seja igual a f(2)=a.

Passo 5

Fatoramos o numerador como diferença de cubos:
x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)
Assim, para xneq2,
x^3-8x-2 = x^2+2x+4,
que é um polinômio contínuo. Portanto
limxto2x^3-8x-2 = limxto2(x^2+2x+4) = 2^2 + 2cdot2 + 4 = 4+4+4 = 12

Passo 6

Condição de continuidade em 2:
a = limxto2 f(x) = 12
Não há informação alguma sobre b no enunciado, logo não podemos determinar b.

Resposta

Para que f seja contínua em todo R, é necessário e suficiente ter
a = 12
Não há valor de b a ser encontrado, pois o enunciado não introduz nenhum parâmetro b.

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